Bài 13. Bài tập về khí lí tưởng trang 52, 53, 54 Vật Lí 12 Kết nối tri thức

Để giải các bài tập về sự chuyển trạng thái của khí lí tưởng, chúng ta cần sử dụng các công thức cốt lõi sau đây:

1. Phương trình trạng thái khí lí tưởng (Phương trình Clapeyron)

Công thức: $PV = nRT$

• Ý nghĩa: Mô tả mối liên hệ giữa áp suất ($P$), thể tích ($V$), nhiệt độ tuyệt đối ($T$) của một lượng khí xác định.
• Cách dùng: Dùng khi biết 3 trong 4 thông số $(P, V, n, T)$ và cần tìm thông số còn lại tại một trạng thái cụ thể.

2. Phương trình trạng thái tổng quát (Cho quá trình chuyển trạng thái)

Công thức: $\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}$

• Ý nghĩa: Biểu diễn sự thay đổi trạng thái của một lượng khí lí tưởng từ trạng thái 1 $(P_1, V_1, T_1)$ sang trạng thái 2 $(P_2, V_2, T_2)$.
• Cách dùng: Dùng cho các bài toán mà cả ba thông số $P, V, T$ đều có thể thay đổi.

3. Các công thức cho quá trình đặc biệt

Khi một trong ba thông số $P, V, T$ được giữ không đổi, phương trình tổng quát rút gọn thành các định luật sau:

• Quá trình đẳng nhiệt ($T = ext{const}$): Áp dụng định luật Boyle $\rightarrow P_1V_1 = P_2V_2$ (hoặc $PV = ext{const}$). Dùng khi nhiệt độ không đổi.
• Quá trình đẳng áp ($P = ext{const}$): Áp dụng định luật Charles $\rightarrow \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ (hoặc $\frac{V}{T} = ext{const}$). Dùng khi áp suất không đổi.
• Quá trình đẳng tích ($V = ext{const}$): Áp dụng định luật Gay-Lussac $\rightarrow \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ (hoặc $\frac{P}{T} = ext{const}$). Dùng khi thể tích không đổi.

Lưu ý quan trọng khi tính toán: Nhiệt độ $T$ trong tất cả các công thức trên bắt buộc phải sử dụng thang nhiệt độ Kelvin: $T(\text{K}) = t(^\circ ext{C}) + 273,15$.

1. Giải Bài tập ví dụ 2 bằng cách vẽ đường đẳng tích:

Trong Bài tập ví dụ 2, thông thường chúng ta xét một quá trình biến đổi trạng thái của khí. Nếu thay đường đẳng áp (trên đồ thị $V-T$) bằng đường đẳng tích, ta sẽ chuyển sang quan sát trên đồ thị $p-T$.

• Phân tích: Ở quá trình đẳng tích, thể tích $V$ không đổi. Mối quan hệ giữa áp suất $p$ và nhiệt độ tuyệt đối $T$ là tỉ lệ thuận: $p = k T$ (với $k$ là hằng số).
• Cách giải:
  1. Xác định trạng thái ban đầu $(p_1, T_1)$ và trạng thái cuối $(p_2, T_2)$.
  2. Vẽ đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $(p_1, T_1)$. Đây chính là đường đẳng tích.
  3. Khi nhiệt độ tăng từ $T_1$ lên $T_2$, điểm biểu diễn trạng thái sẽ di chuyển dọc theo đường thẳng này đến điểm $(p_2, T_2)$.
  4. Áp dụng công thức: $\\frac{p_1}{T_1} = \\frac{p_2}{T_2} \\Rightarrow p_2 = \\frac{p_1 T_2}{T_1}$.

2. Giải Bài tập ví dụ 3 dùng phương trình $\\frac{pV}{T} = \\text{hằng số}$:

Bài tập ví dụ 3 thường yêu cầu tìm một thông số trạng thái (ví dụ nhiệt độ $T_2$) khi cả áp suất $p$ và thể tích $V$ đều thay đổi.

• Bước 1: Liệt kê các thông số trạng thái:
  • Trạng thái 1: $p_1, V_1, T_1$ (đã biết).
  • Trạng thái 2: $p_2, V_2, T_2$ (trong đó $p_2, V_2$ biết, $T_2$ cần tìm).
• Bước 2: Áp dụng phương trình trạng thái: $$\\frac{p_1 V_1}{T_1} = \\frac{p_2 V_2}{T_2}$$
• Bước 3: Biến đổi toán học để tìm $T_2$: $$T_2 = \\frac{p_2 V_2 T_1}{p_1 V_1}$$
• Bước 4: Thay số và kết luận: Thay các giá trị cụ thể từ đề bài vào công thức trên để tính ra kết quả cuối cùng. Việc dùng phương trình này giúp giải bài toán trực tiếp trong một bước thay vì phải chia nhỏ thành hai quá trình (ví dụ: đẳng áp rồi đến đẳng tích).

1. Tóm tắt các thông số:
- Trạng thái 1 (Điều kiện tiêu chuẩn):
+ Thể tích: $V_1 = 2 \text{ m}^3$
+ Áp suất: $p_1 = 10^5 \text{ Pa}$ (Giá trị xấp xỉ thường dùng cho điều kiện tiêu chuẩn trong các bài tập trắc nghiệm để ra kết quả gọn).
- Trạng thái 2 (Sau khi nén đẳng nhiệt):
+ Áp suất: $p_2 = 5 \cdot 10^5 \text{ Pa}$
+ Thể tích: $V_2 = ? \text{ m}^3$

2. Lập luận và tính toán:
Vì quá trình biến đổi là đẳng nhiệt, ta áp dụng định luật Boyle:
$$p_1V_1 = p_2V_2$$
Từ đó, ta rút ra công thức tính thể tích lúc sau $V_2$:
$$V_2 = \frac{p_1V_1}{p_2}$$
Thay các giá trị đã cho vào công thức:
$$V_2 = \frac{10^5 \cdot 2}{5 \cdot 10^5} = \frac{2}{5} = 0,4 \text{ m}^3$$

3. Kết luận:
Thể tích của lượng khí sau khi nén là $0,4 \text{ m}^3$.
Đối chiếu với các phương án, ta chọn đáp án C.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi:

a) Tại sao vỏ bóng phải được làm bằng chất liệu đàn hồi?

Khi bóng thám không bay lên cao, áp suất khí quyển bên ngoài giảm dần. Theo định luật Boyle-Mariotte, vì áp suất bên ngoài giảm nên khối khí bên trong bóng sẽ giãn nở, làm thể tích $V$ của bóng tăng lên. Nếu vỏ bóng không có tính đàn hồi, nó sẽ bị rách ngay khi khí bên trong vừa giãn nở. Chất liệu đàn hồi cho phép vỏ bóng co giãn, tăng kích thước theo thể tích khí mà không bị vỡ ngay lập tức, giúp bóng có thể đạt tới độ cao lớn.

b) Tại sao để bóng bay lên, người ta phải bơm vào bóng một loại khí có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí?

Để một vật có thể bay lên trong không khí, lực đẩy Archimedes ($F_A$) phải lớn hơn tổng trọng lượng ($P$) của vật đó: $F_A > P$.

• Lực đẩy Archimedes được tính bởi: $F_A = \rho_{kk} \cdot g \cdot V$ (trong đó $\rho_{kk}$ là khối lượng riêng của không khí).
• Trọng lượng của bóng bao gồm: trọng lượng khí bơm vào và trọng lượng vỏ bóng, thiết bị đo.

Để tối ưu hóa khả năng bay lên, người ta sử dụng các loại khí nhẹ (như Heli hoặc Hydro) có khối lượng riêng $\rho_{khí} \ll \rho_{kk}$. Điều này làm giảm trọng lượng của khối khí bên trong bóng, đảm bảo điều kiện $F_A > P$ để bóng có thể bay lên cao.

c) Tại sao bóng thám không thường bị vỡ ở độ cao từ 30 km đến 40 km?

Khi bóng tiếp tục bay lên, áp suất khí quyển giảm rất sâu. Khối khí bên trong bóng tiếp tục giãn nở khiến thể tích $V$ tăng lên không ngừng. Mặc dù vỏ bóng làm bằng chất liệu đàn hồi, nhưng mọi vật liệu đều có một giới hạn đàn hồi nhất định. Khi đạt đến độ cao khoảng 30-40 km, thể tích khí tăng đến mức khiến vỏ bóng bị kéo căng quá mức, vượt quá giới hạn bền của vật liệu, dẫn đến việc vỏ bóng bị rách và vỡ.

1. Tóm tắt các thông số:

• Thể tích bình: $V_2 = 40\text{ dm}^3 = 0,04\text{ m}^3$.
• Khối lượng khí oxygen: $m = 3,96\text{ kg}$.
• Áp suất tối đa bình chịu được: $p_2 = 60\text{ atm}$.
• Khối lượng riêng của oxygen ở đktc: $\rho_0 = 1,43\text{ kg/m}^3$.
• Điều kiện tiêu chuẩn (đktc): $p_1 = 1\text{ atm}$, $T_1 = 273\text{ K}$.

2. Tính toán chi tiết:

Bước 1: Tính thể tích của $3,96\text{ kg}$ khí oxygen ở điều kiện tiêu chuẩn ($V_1$):
Áp dụng công thức khối lượng riêng: $\rho_0 = \frac{m}{V_1} \Rightarrow V_1 = \frac{m}{\rho_0}$
$$V_1 = \frac{3,96}{1,43} \approx 2,7692\text{ m}^3$$

Bước 2: Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng để tìm nhiệt độ $T_2$ khi áp suất đạt $60\text{ atm}$:
$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{p_2 V_2 T_1}{p_1 V_1}$$

Thay các giá trị đã biết vào công thức:
$$T_2 = \frac{60 \cdot 0,04 \cdot 273}{1 \cdot 2,7692} = \frac{655,2}{2,7692} \approx 236,6\text{ K}$$

Bước 3: Đổi nhiệt độ sang độ C:
$$t_2 = T_2 - 273 = 236,6 - 273 = -36,4^\circ\text{C}$$

3. Kết luận:
Ở nhiệt độ xấp xỉ $-36,4^\circ\text{C}$ (hoặc $236,6\text{ K}$), áp suất trong bình đạt mức giới hạn $60\text{ atm}$. Nếu nhiệt độ cao hơn giá trị này, áp suất sẽ tăng lên vượt quá khả năng chịu đựng của bình và bình có thể bị vỡ.

1. Tóm tắt các thông số:

• Trạng thái 1: $P_1 = 40$ atm; $T_1 = 27 + 273 = 300$ K; số mol khí là $n_1$.
• Trạng thái 2: $P_2 = ?$; $T_2 = 12 + 273 = 285$ K; số mol khí là $n_2 = \\frac{n_1}{2}$ (do một nửa lượng khí thoát ra).
• Thể tích bình $V$ không đổi.

2. Lập luận và tính toán:

Áp dụng phương trình trạng thái cho hai thời điểm:

$\frac{P_1 V}{n_1 R T_1} = 1$ và $\frac{P_2 V}{n_2 R T_2} = 1$

Từ đó ta có tỉ lệ:

$\frac{P_1}{n_1 T_1} = \frac{P_2}{n_2 T_2}$

Suy ra công thức tính áp suất $P_2$:

$P_2 = P_1 \cdot \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

$P_2 = 40 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{285}{300}$

$P_2 = 20 \cdot 0,95 = 19$ (atm)

3. Kết luận:

Khi nhiệt độ giảm xuống $12^\circ\text{C}$ và một nửa lượng khí thoát ra ngoài, áp suất khí trong bình sẽ giảm xuống còn 19 atm.

Dựa vào hình 13.4, ta phân tích từng quá trình chuyển trạng thái của lượng khí như sau:

1. Xét quá trình (2 $\to$ 3) và (4 $\to$ 1): Đường biểu diễn của hai quá trình này là những đường thẳng nằm ngang (song song với trục T). Điều này cho thấy trong suốt quá trình biến đổi, áp suất $p$ được giữ không đổi. Do đó, quá trình (2 $\to$ 3) và (4 $\to$ 1) là các quá trình đẳng áp.

2. Xét quá trình (1 $\to$ 2): Đường biểu diễn là một đoạn thẳng. Khi kéo dài đoạn thẳng này, ta thấy nó đi qua gốc tọa độ O. Vì $p$ tỉ lệ thuận với $T$ ($p = k T$ với $k = \frac{nR}{V}$), nên đây chính là đặc điểm của một quá trình đẳng tích.

3. Xét quá trình (3 $\to$ 4): Đường biểu diễn là một đoạn thẳng nhưng không đi qua gốc tọa độ O. Do đó, nó không thỏa mãn điều kiện $p$ tỉ lệ thuận với $T$. Đây không phải là quá trình đẳng tích, cũng không phải đẳng áp hay đẳng nhiệt.

Kết luận: Trong bốn quá trình trên, chỉ có duy nhất quá trình (1 $\to$ 2) là quá trình đẳng tích.