Bài 11. Phương trình trạng thái của khí lí tưởng trang 45, 46, 47 Vật Lí 12 Kết nối tri thức

Để tìm mối liên hệ giữa $P, V, T$ của một khối lượng khí xác định, ta xét sự biến đổi của khối khí từ trạng thái 1 $(P_1, V_1, T_1)$ sang trạng thái 2 $(P_2, V_2, T_2)$.

Thay vì biến đổi trực tiếp, ta cho khối khí đi qua một trạng thái trung gian (trạng thái 1') có thông số là $(P_2, V_{int}, T_1)$. Quá trình này được chia làm hai giai đoạn:

Bước 1: Xét quá trình biến đổi từ trạng thái 1 sang trạng thái 1'. Đây là quá trình đẳng nhiệt ($T = T_1$). Áp dụng định luật Boyle:

$P_1 V_1 = P_2 V_{int} \implies V_{int} = \frac{P_1 V_1}{P_2}$ (1)

Bước 2: Xét quá trình biến đổi từ trạng thái 1' sang trạng thái 2. Đây là quá trình đẳng áp ($P = P_2$). Áp dụng định luật Charles:

$\frac{V_{int}}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ (2)

Bước 3: Thay giá trị $V_{int}$ từ biểu thức (1) vào biểu thức (2), ta có:

$\frac{P_1 V_1}{P_2 T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Bước 4: Biến đổi biểu thức trên để nhóm các thông số của cùng một trạng thái về một vế:

$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$

Kết luận: Đối với một khối lượng khí xác định, tỉ số giữa tích của áp suất và thể tích với nhiệt độ tuyệt đối là một hằng số. Biểu thức này chính là phương trình trạng thái của khí lí tưởng:

$\frac{PV}{T} = \text{constant}$

Như vậy, bằng cách kết hợp định luật Boyle và định luật Charles, ta đã xác định được mối liên hệ tổng quát giữa cả ba thông số trạng thái $P, V, T$.

Xét một khối lượng khí lí tưởng xác định chuyển từ trạng thái 1 $(p_1, V_1, T_1)$ sang trạng thái 2 $(p_2, V_2, T_2)$. Để thiết lập mối liên hệ, ta giả sử khí đi qua một trạng thái trung gian là trạng thái 3 $(p_2, V_3, T_1)$ như sau:

Bước 1: Xét quá trình biến đổi từ trạng thái 1 sang trạng thái 3. Trong quá trình này, nhiệt độ được giữ không đổi ($T = T_1$). Áp dụng định luật Boyle, ta có:\n

Bước 2: Xét quá trình biến đổi từ trạng thái 3 sang trạng thái 2. Trong quá trình này, áp suất được giữ không đổi ($p = p_2$). Áp dụng định luật Charles, ta có:\n

Bước 3: Từ phương trình (1), ta rút ra $V_3 = \frac{p_1 V_1}{p_2}$. Thay giá trị này vào phương trình (2), ta được:\n

Bước 4: Nhân cả hai vế với $p_2$, ta thu được phương trình:$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Kết luận: Vì trạng thái 1 và trạng thái 2 là hai trạng thái bất kỳ của cùng một khối lượng khí, nên tỉ số $\frac{pV}{T}$ luôn không đổi trong suốt quá trình biến đổi trạng thái của khối khí đó:\n

Hằng số này phụ thuộc vào khối lượng khí, bản chất của khí và đơn vị đo các thông số.

1. Lập phương trình trạng thái bằng một cách biến đổi khác

Giả sử một lượng khí xác định chuyển từ trạng thái 1 $(p_1, V_1, T_1)$ sang trạng thái 2 $(p_2, V_2, T_2)$. Thay vì đi theo lộ trình trong Hình 11.1 (thường là đẳng nhiệt $\\to$ đẳng áp), ta chọn lộ trình chuyển trạng thái thông qua một trạng thái trung gian A $(p', V_1, T_2)$ như sau:

Bước 1: Chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái A bằng quá trình đẳng tích ($V = V_1$).
Áp dụng định luật Gay-Lussac: $\\frac{p_1}{T_1} = \\frac{p'}{T_2} \\implies p' = \frac{p_1 T_2}{T_1}$ (1)

Bước 2: Chuyển từ trạng thái A sang trạng thái 2 bằng quá trình đẳng nhiệt ($T = T_2$).
Áp dụng định luật Boyle: $p' V_1 = p_2 V_2$ (2)

Bước 3: Thế giá trị $p'$ từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được:
$\\left( \\frac{p_1 T_2}{T_1} \\right) V_1 = p_2 V_2 \\implies \\frac{p_1 V_1 T_2}{T_1} = p_2 V_2 \\implies \\frac{p_1 V_1}{T_1} = \\frac{p_2 V_2}{T_2}$

Kết luận: Dù ta chọn cách biến đổi khác (đẳng tích trước, đẳng nhiệt sau) nhưng kết quả cuối cùng vẫn cho ra cùng một phương trình trạng thái. Điều này chứng tỏ quá trình chuyển trạng thái không phụ thuộc vào cách chuyển (lộ trình) mà chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối.

2. Tại sao gọi là phương trình trạng thái của khí lí tưởng?

Phương trình (11.1) được gọi là phương trình trạng thái của khí lí tưởng vì nó được xây dựng dựa trên một mô hình lý thuyết với các giả thiết đơn giản hóa, không hoàn toàn đúng với mọi chất khí trong thực tế (khí thực). Cụ thể:

• Giả thiết 1: Các phân tử khí được coi là những chất điểm (kích thước của phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, nên thể tích riêng của các phân tử được bỏ qua).
• Giả thiết 2: Bỏ qua lực tương tác giữa các phân tử khi chúng không va chạm với nhau.

Trong thực tế, các khí thực chỉ tuân theo phương trình này một cách xấp xỉ khi ở điều kiện áp suất thấp và nhiệt độ cao. Khi áp suất rất cao hoặc nhiệt độ rất thấp, thể tích phân tử và lực tương tác giữa chúng trở nên đáng kể, khiến khí thực không còn tuân theo đúng phương trình $\\frac{pV}{T} = \text{const}$. Do đó, để chính xác về mặt khoa học, ta gọi đây là phương trình của khí lí tưởng.

1. Biểu diễn các quá trình chuyển trạng thái trong hệ tọa độ $(p - V)$

Dựa vào Hình 11.1 trong SGK (mô tả các quá trình chuyển trạng thái), ta xác định đặc điểm của từng giai đoạn như sau:

• Quá trình $1 \rightarrow 2$: Là quá trình đẳng tích (thể tích $V$ không đổi, áp suất $p$ tăng và nhiệt độ $T$ tăng). Trên đồ thị $(p, V)$, đây là một đoạn thẳng đứng đi lên.
• Quá trình $2 \rightarrow 3$: Là quá trình đẳng áp (áp suất $p$ không đổi, thể tích $V$ tăng và nhiệt độ $T$ tăng). Trên đồ thị $(p, V)$, đây là một đoạn thẳng nằm ngang kéo dài sang phải.
• Quá trình $3 \rightarrow 1$: Là quá trình đẳng nhiệt (nhiệt độ $T$ không đổi, áp suất $p$ tăng và thể tích $V$ giảm để quay về trạng thái 1). Trên đồ thị $(p, V)$, đây là một cung đường hypebol nối điểm 3 và điểm 1.

2. Hệ thức liên hệ giữa áp suất và nhiệt độ tuyệt đối trong quá trình đẳng tích

Xét một lượng khí lí tưởng xác định, theo phương trình trạng thái của khí lí tưởng, ta có:

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

Trong quá trình đẳng tích, thể tích của khối khí không thay đổi: $V_1 = V_2 = V = \text{constant}$.

Thay vào phương trình trên, ta được:

$\frac{p_1V}{T_1} = \frac{p_2V}{T_2} \implies \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Từ đó, ta suy ra hệ thức tổng quát cho quá trình đẳng tích:

$\frac{p}{T} = \text{constant}$ hoặc $p \propto T$

Kết luận: Trong quá trình đẳng tích, áp suất của một lượng khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của nó. Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ tuyệt đối tăng bao nhiêu lần thì áp suất của khí cũng tăng bấy nhiêu lần (và ngược lại).

1. Bài toán bóng thám không

Gọi trạng thái 1 là lúc vừa bơm xong và trạng thái 2 là lúc bóng bay ở tầng khí quyển.

• Trạng thái 1: $P_1 = 1,02.10^5 \text{ Pa}$, $T_1 = 300 \text{ K}$, bán kính $R_1$ (cần tìm).
• Trạng thái 2: $P_2 = 0,3.10^5 \text{ Pa}$, $T_2 = 200 \text{ K}$, bán kính $R_2 = 10 \text{ m}$.

Vì lượng khí trong bóng không đổi, ta áp dụng phương trình trạng thái:

Rút gọn $\frac{4}{3}\pi$, ta có:

Thay số:

Kết luận: Bán kính của bóng khi vừa bơm xong khoảng 7,61 m.

2. Bài toán túi khí

a) Phương trình phân hủy $\text{NaN}_3$:

b) Tính lượng khí $\text{N}_2$ giải phóng:

• Khối lượng mol của $\text{NaN}_3$: $M = 23 + 14 \cdot 3 = 65 \text{ g/mol}$.
• Số mol $\text{NaN}_3$ có trong túi: $n_{\text{NaN}_3} = \frac{m}{M} = \frac{100}{65} \approx 1,538 \text{ mol}$.
• Theo phương trình, tỉ lệ mol là $2:3$, nên số mol $\text{N}_2$ tạo thành là: $n_{\text{N}_2} = \frac{3}{2} n_{\text{NaN}_3} = 1,5 \cdot 1,538 \approx 2,308 \text{ mol}$.
• Thể tích khí $\text{N}_2$ ở điều kiện đề bài cho (thể tích mol $V_m = 24,0 \text{ l/mol}$): $V = n_{\text{N}_2} \cdot V_m = 2,308 \cdot 24,0 \approx 55,39 \text{ (lít)}$.

c) Tính áp suất khí $\text{N}_2$ khi túi phồng lên:

• Thể tích túi khí: $V = 48 \text{ lít} = 48 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3$.
• Nhiệt độ: $T = 30 + 273,15 = 303,15 \text{ K}$.
• Số mol khí $\text{N}_2$: $n = 2,308 \text{ mol}$.

Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng:

Đổi đơn vị: $P \approx 1,21 \cdot 10^5 \text{ Pa}$.

Kết luận: Áp suất của khí $\text{N}_2$ trong túi khí khi đã phồng lên là khoảng $1,21 \cdot 10^5 \text{ Pa}$.