Bài 12. Áp suất khí theo mô hình động học phân tử. Quan hệ giữa động năng phân tử và nhiệt độ trang 48, 49, 50 Vật Lí 12 Kết nối tri thức

Dựa trên mô hình động học phân tử, áp suất khí $p$ tỉ lệ thuận với mật độ phân tử, khối lượng phân tử và bình phương tốc độ trung bình của các phân tử. Cụ thể sự phụ thuộc như sau:

1. Khối lượng phân tử ($m$): Áp suất tỉ lệ thuận với khối lượng phân tử. Khi khối lượng phân tử càng lớn, với cùng một tốc độ, mỗi va chạm của phân tử vào thành bình sẽ tạo ra một xung lượng (biến thiên động lượng $\Delta p = 2mv$) lớn hơn, dẫn đến lực tác dụng lên thành bình lớn hơn và áp suất tăng.

2. Tốc độ chuyển động của phân tử ($v$): Áp suất tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ trung bình của phân tử. Khi tốc độ tăng:
- Các phân tử va chạm vào thành bình với lực mạnh hơn (động lượng lớn hơn).
- Tần suất va chạm (số lần va chạm trong một đơn vị thời gian) tăng lên.
Do đó, áp suất khí sẽ tăng mạnh khi tốc độ phân tử tăng.

3. Mật độ phân tử ($n$): Áp suất tỉ lệ thuận với mật độ phân tử (số phân tử trong một đơn vị thể tích). Khi mật độ phân tử càng cao, số lượng phân tử va chạm vào một đơn vị diện tích thành bình trong một đơn vị thời gian càng nhiều, dẫn đến áp suất tăng.

4. Lực liên kết phân tử:
- Trong mô hình khí lí tưởng, người ta bỏ qua lực tương tác (lực liên kết) giữa các phân tử trừ khi chúng va chạm.
- Trong khí thực, lực liên kết có ảnh hưởng: lực hút giữa các phân tử làm giảm tốc độ của các phân tử khi chúng tiến về phía thành bình, từ đó làm giảm áp suất so với khí lí tưởng. Ngược lại, ở mật độ rất cao, lực đẩy chiếm ưu thế làm tăng áp suất.

Kết luận: Áp suất khí tăng khi khối lượng phân tử tăng, tốc độ phân tử tăng và mật độ phân tử tăng. Lực liên kết phân tử (lực hút) thường có xu hướng làm giảm áp suất khí thực.

1. Giải thích về chuyển động của phân tử khí:

Trong mô hình động học phân tử, các phân tử khí được coi là rất nhỏ và khoảng cách giữa chúng là rất lớn so với kích thước phân tử. Do đó, khi phân tử di chuyển giữa hai lần va chạm liên tiếp với thành bình, lực tương tác giữa các phân tử khí với nhau là không đáng kể. Theo Định luật I Newton, vì không có lực tác dụng, phân tử khí sẽ duy trì trạng thái chuyển động thẳng đều.

2. Tính thời gian $\Delta t$ giữa hai va chạm liên tiếp:

Xét một phân tử khí chuyển động vuông góc với thành bình ABCD với vận tốc $v$. Để va chạm lần tiếp theo với thành bình ABCD, phân tử phải đi từ thành ABCD đến thành đối diện (quãng đường $l$) và quay trở lại (quãng đường $l$).

Tổng quãng đường phân tử đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp là: $s = 2l$.

Thời gian giữa hai va chạm liên tiếp là: $\Delta t = \frac{s}{v} = \frac{2l}{v}$.

3. Chứng minh lực và áp suất:

a) Chứng minh giá trị lực:

Giả sử va chạm giữa phân tử khí và thành bình là va chạm đàn hồi. Vận tốc của phân tử trước va chạm là $\vec{v}$ (hướng về phía thành bình) và sau va chạm là $\vec{v}' = -\vec{v}$ (hướng ngược lại).

Độ biến thiên động lượng của phân tử khí là: $\Delta p = m \cdot v' - m \cdot v = m(-v) - m(v) = -2mv$.

Theo công thức xung lượng của lực: $\Delta p = F_{wall} \cdot \Delta t \Rightarrow F_{wall} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.

Thay $\Delta p = -2mv$ và $\Delta t = \frac{2l}{v}$ vào, ta được lực do thành bình tác dụng lên phân tử: $F_{wall} = \frac{-2mv}{2l/v} = -\frac{mv^2}{l}$.

Theo định luật III Newton, lực do phân tử khí tác dụng lên thành bình có giá trị ngược dấu: $F_{mol} = -F_{wall} = +\frac{mv^2}{l}$.

b) Chứng minh giá trị áp suất $p_m$:

Áp suất do một phân tử khí gây ra lên thành bình ABCD là lực tác dụng chia cho diện tích bề mặt $S$ của thành bình:

$p_m = \frac{F_{mol}}{S} = \frac{mv^2}{l \cdot S}$.

Vì thể tích của bình là $V = S \cdot l \Rightarrow l \cdot S = V$. Thay vào biểu thức trên, ta được:

$p_m = \frac{mv^2}{V} = \frac{m}{V} v^2$. (đpcm)

1. Chứng minh hệ thức (12.1) phù hợp với định luật Boyle

Hệ thức (12.1) cho áp suất chất khí là: $p = \\frac{1}{3} n m \\overline{v^2}$

Trong đó: $n = \\frac{N}{V}$ (mật độ phân tử), $m$ là khối lượng một phân tử, $\\overline{v^2}$ là trung bình bình phương tốc độ của các phân tử.

Thay $n = \\frac{N}{V}$ vào hệ thức, ta có: $p = \\frac{1}{3} \\frac{N}{V} m \\overline{v^2} \\Rightarrow pV = \\frac{1}{3} N m \\overline{v^2}$

Xét một lượng khí nhất định (số phân tử $N$ không đổi) ở nhiệt độ không đổi ($T = \\text{const}$), theo lý thuyết động học phân tử, động năng trung bình và tốc độ trung bình của các phân tử là không đổi $\\Rightarrow \\overline{v^2} = \\text{const}$.

Vì $N, m, \\overline{v^2}$ đều là hằng số nên tích $pV = \\text{constant}$. Đây chính là nội dung của định luật Boyle: Trong quá trình đẳng nhiệt của một lượng khí nhất định, áp suất tỉ lệ nghịch với thể tích.

2. Giải thích sự phụ thuộc của áp suất vào mật độ phân tử và động năng trung bình

Hệ thức (12.2): $p = \\frac{2}{3} n \\overline{E_d}$

Áp suất khí $p$ được định nghĩa là lực trung bình tác dụng lên một đơn vị diện tích thành bình. Lực này sinh ra từ vô số các va chạm của phân tử khí vào thành bình. Cụ thể:

• Phụ thuộc vào mật độ phân tử $n$: Khi mật độ phân tử $n$ tăng (số phân tử trong một đơn vị thể tích nhiều hơn), số lượng phân tử va chạm vào một đơn vị diện tích thành bình trong một đơn vị thời gian sẽ tăng lên. Tần suất va chạm càng cao $\\Rightarrow$ tổng lực tác dụng lên thành bình càng lớn $\\Rightarrow$ áp suất $p$ tăng.
• Phụ thuộc vào động năng trung bình $\\overline{E_d}$: Động năng trung bình tỉ lệ với bình phương tốc độ ($\\overline{E_d} = \\frac{1}{2} m \\overline{v^2}$). Khi $\\overline{E_d}$ tăng, các phân tử chuyển động nhanh hơn, dẫn đến hai hệ quả: (1) Tần suất va chạm vào thành bình tăng và (2) Độ biến thiên động lượng (xung lực) trong mỗi lần va chạm tăng lên, làm cho lực tác động mỗi lần va chạm mạnh hơn. Cả hai yếu tố này đều làm tăng áp suất $p$.

Kết luận: Áp suất chất khí tỉ lệ thuận với cả mật độ phân tử và động năng trung bình của các phân tử khí.

Chúng ta thực hiện các bước lập luận và biến đổi toán học như sau:

Bước 1: Xét hệ thức mô tả áp suất khí theo mô hình động học phân tử:

\(p = \frac{2}{3} \mu \overline{E_d}\) (1)

Trong đó, \(\mu = \frac{N}{V}\) là mật độ phân tử (số phân tử trong một đơn vị thể tích), với \(N\) là tổng số phân tử và \(V\) là thể tích khí. Thay \(\mu\) vào (1), ta có:

\(p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \overline{E_d} \Rightarrow pV = \frac{2}{3} N \overline{E_d}\) (2)

Bước 2: Xét phương trình trạng thái của khí lí tưởng:

\(pV = nRT\) (3)

Trong đó: \(n\) là số mol, \(R\) là hằng số khí lí tưởng, và \(T\) là nhiệt độ tuyệt đối.

Bước 3: Từ (2) và (3), ta có hai biểu thức cùng bằng \(pV\), suy ra:

\(\frac{2}{3} N \overline{E_d} = nRT\)

Từ đây, ta cô lập \(\overline{E_d}\):

\(\overline{E_d} = \frac{3}{2} \frac{nRT}{N}\)

Bước 4: Sử dụng định nghĩa số Avogadro \(N_A = \frac{N}{n}\), ta có tỉ số \(\frac{n}{N} = \frac{1}{N_A}\). Thay vào biểu thức trên:

\(\overline{E_d} = \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T\)

Kết luận: Hệ thức \(\overline{E_d} = \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T\) cho thấy động năng trung bình của các phân tử khí tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của khối khí. Điều này khẳng định nhiệt độ là thước đo động năng trung bình của phân tử.

1. Giải thích mối quan hệ giữa áp suất $P$ và nhiệt độ tuyệt đối $T$ trong quá trình đẳng tích:

Từ hệ thức (12.2), áp suất của khí được xác định bởi công thức:

$P = \frac{1}{3} \frac{Nm\overline{v^2}}{V}$ (1)

Từ hệ thức (12.3), ta có biểu thức cho động năng trung bình:

$\bar{E}_k = \frac{1}{2} m\overline{v^2} = \frac{3}{2} kT \implies m\overline{v^2} = 3kT$ (2)

Thay biểu thức (2) vào công thức (1), ta được:

$P = \frac{1}{3} \frac{N(3kT)}{V} = \frac{NkT}{V}$

Trong quá trình đẳng tích của một lượng khí xác định:

• Số phân tử $N$ không đổi.
• Thể tích $V$ không đổi.
• Hằng số Boltzmann $k$ là hằng số.

Khi đó, ta thấy $P = (\frac{Nk}{V}) \cdot T$. Vì cụm $(\frac{Nk}{V})$ là hằng số, nên áp suất $P$ tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối $T$. Điều này phù hợp với định luật Charles.

2. So sánh các phân tử $\text{N}_2$, $\text{O}_2$, và $\text{CO}_2$ trong cùng một căn phòng:

Xét ba loại phân tử khí: Nitrogen ($\text{N}_2$), Oxygen ($\text{O}_2$) và Carbon dioxide ($\text{CO}_2$).

• Về khối lượng ($m$): Dựa vào khối lượng mol ($M_{\text{N}_2} \approx 28 \text{ g/mol}$, $M_{\text{O}_2} \approx 32 \text{ g/mol}$, $M_{\text{CO}_2} \approx 44 \text{ g/mol}$), ta có:
  $m_{\text{N}_2} < m_{\text{O}_2} < m_{\text{CO}_2}$
• Về động năng trung bình ($\bar{E}_k$): Theo hệ thức (12.3), $\bar{E}_k = \frac{3}{2} kT$. Vì các phân tử này cùng ở trong một căn phòng có nhiệt độ $T$ như nhau, nên động năng trung bình của chúng là bằng nhau:
  $\bar{E}_{k(\text{N}_2)} = \bar{E}_{k(\text{O}_2)} = \bar{E}_{k(\text{CO}_2)}$
• Về tốc độ trung bình ($v$): Từ công thức $\bar{E}_k = \frac{1}{2} mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2\bar{E}_k}{m}}$. Vì $\bar{E}_k$ như nhau, tốc độ trung bình tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của khối lượng. Do đó, phân tử nào nhẹ hơn sẽ chuyển động nhanh hơn:
  $v_{\text{N}_2} > v_{\text{O}_2} > v_{\text{CO}_2}$

Kết luận: Trong cùng một điều kiện nhiệt độ, phân tử càng nhẹ thì chuyển động càng nhanh để đảm bảo động năng trung bình là như nhau.