Bài tập chủ đề 2 trang 48, 49, 50 Vật Lí 12 Cánh diều

Để hiểu vì sao chuyển động Brown là bằng chứng cho sự tồn tại của các phân tử, ta phân tích theo các bước sau:

1. Hiện tượng: Khi quan sát các hạt phấn hoa (hoặc hạt bụi nhỏ) lơ lửng trong nước hoặc không khí dưới kính hiển vi, ta thấy chúng chuyển động hỗn loạn, không ngừng, theo những đường zích zắc không theo quy luật nào.

2. Giải thích bản chất vật lí:

• Các hạt phấn hoa có kích thước lớn hơn nhiều so với phân tử nước, nhưng vẫn đủ nhỏ để chịu ảnh hưởng của các phân tử xung quanh.
• Các phân tử nước chuyển động nhiệt hỗn loạn không ngừng và va chạm liên tục vào hạt phấn hoa từ mọi phía.
• Tại mỗi thời điểm, do sự phân bố ngẫu nhiên, số lượng phân tử va chạm vào hạt phấn hoa từ một phía sẽ không bằng số lượng phân tử va chạm từ phía đối diện. Điều này tạo ra một hợp lực không cân bằng tác dụng lên hạt phấn hoa, đẩy nó dịch chuyển theo một hướng ngẫu nhiên.
• Vì các va chạm này xảy ra liên tục và thay đổi hướng không ngừng, hạt phấn hoa chuyển động zích zắc.

3. Kết luận: Vì hạt phấn hoa chuyển động được là nhờ kết quả của những cú va chạm từ những hạt nhỏ hơn (mà kính hiển vi không nhìn thấy được), nên điều này chứng tỏ: Vật chất được cấu tạo từ các hạt riêng rẽ (phân tử/nguyên tử) và các hạt này luôn chuyển động nhiệt hỗn loạn.

Do đó, chuyển động Brown chính là bằng chứng thực nghiệm trực tiếp xác nhận sự tồn tại của các phân tử.

Lời giải chi tiết:

1. Phân tích bản chất vật lí:
Định luật Boyle (hay định luật Boyle - Mariotte) mô tả mối quan hệ giữa áp suất và thể tích của một khối lượng khí xác định khi nhiệt độ được giữ không đổi (quá trình đẳng nhiệt). Khi ta nén một khối khí (giảm thể tích \(V\)), các phân tử khí sẽ va chạm với thành bình với tần suất cao hơn, dẫn đến áp suất \(p\) tăng lên.

2. Xác định hệ thức:
Từ mối quan hệ tỉ lệ nghịch \(p \propto \frac{1}{V}\), ta có tích số giữa áp suất và thể tích là một hằng số:
\[ p \cdot V = \text{constant} \]

Khi một lượng khí chuyển từ trạng thái 1 (\(p_1, V_1\)) sang trạng thái 2 (\(p_2, V_2\)) ở nhiệt độ không đổi, ta có:
\[ p_1V_1 = p_2V_2 \]

3. Phân tích các phương án:
- Phương án A: \(\frac{p_1}{V_1} = \frac{p_2}{V_2}\) (Sai, đây là tỉ lệ thuận).
- Phương án B: \(p_1T_1 = p_2T_2\) (Sai, không đúng quy luật của định luật Boyle).
- Phương án C: \(p_1V_1 = p_2V_2\) (Đúng, đây chính là biểu thức của định luật Boyle).
- Phương án D: \(p = \frac{1}{V}\) (Sai, đây chỉ là dạng đơn giản hóa, thiếu hằng số tỉ lệ và không diễn tả sự biến đổi giữa hai trạng thái).

Kết luận: Đáp án đúng là C.

Bước 1: Xét phương trình trạng thái của khí lí tưởng
Phương trình trạng thái của một lượng khí lí tưởng xác định được biểu diễn bởi công thức:
\(\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}\)

Trong đó:
- \(p_1, p_2\): Áp suất của khí ở trạng thái 1 và trạng thái 2.
- \(V_1, V_2\): Thể tích của khí ở trạng thái 1 và trạng thái 2.
- \(T_1, T_2\): Nhiệt độ tuyệt đối của khí ở trạng thái 1 và trạng thái 2 (đơn vị Kelvin).

Bước 2: Áp dụng điều kiện bài toán
Theo đề bài, thể tích của lượng khí được giữ không đổi trong quá trình biến đổi, tức là:
\(V_1 = V_2 = V = \text{const}\)

Bước 3: Suy ra mối liên hệ
Thay \(V_1 = V_2\) vào phương trình trạng thái, ta có:
\(\frac{p_1V}{T_1} = \frac{p_2V}{T_2} \Rightarrow \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\)

Đây chính là nội dung của định luật Charles (hay còn gọi là định luật Gay-Lussac cho quá trình đẳng tích), khẳng định rằng trong quá trình đẳng tích, áp suất của một lượng khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của nó.

Kết luận: Đối chiếu với các phương án đưa ra, đáp án đúng là B.

a) Tính áp suất của khí sau khi nén:

Các thông số trạng thái ban đầu (trạng thái 1):

• Thể tích: $V_1 = 140\\text{ dm}^3$
• Áp suất: $P_1 = 1\\text{ atm}$
• Nhiệt độ: $T_1 = 20\\text{ }^\\circ\\text{C}$ (không đổi)

Các thông số trạng thái sau khi nén (trạng thái 2):

• Thể tích: $V_2 = 42\\text{ dm}^3$
• Áp suất: $P_2 = ?$

Vì nhiệt độ không đổi, áp dụng định luật Boyle:

$P_1V_1 = P_2V_2 \Longrightarrow P_2 = P_1 \\cdot \\frac{V_1}{V_2}$

Thay số vào công thức:

$P_2 = 1 \\cdot \\frac{140}{42} \\approx 3,33\\text{ atm}$

Vậy áp suất của khí sau khi nén là khoảng 3,33 atm.

b) Ảnh hưởng khi nén thật nhanh:

Khi nén khí thật nhanh, quá trình này diễn ra gần như là một quá trình đoạn nhiệt (nhiệt lượng không kịp trao đổi với môi trường).

• Về nhiệt độ: Công mà lực nén thực hiện lên khối khí sẽ làm tăng nội năng của khí, dẫn đến nhiệt độ của khí tăng lên.
• Về áp suất: Theo phương trình trạng thái khí lí tưởng $PV = nRT$, khi thể tích $V$ giảm và nhiệt độ $T$ tăng, áp suất $P$ sẽ tăng mạnh hơn so với trường hợp nén chậm (đẳng nhiệt).

Kết luận: Nếu nén thật nhanh, cả nhiệt độ và áp suất của khí nitrogen đều sẽ tăng cao hơn so với khi nén chậm.

1. Phân tích các thông số ban đầu:

• Tại vị trí giải phóng (độ sâu $h_1 = 2,50$ m):
  - Thể tích: $V_1 = 0,42$ cm³.
  - Áp suất: $P_1 = P_0 + \rho gh_1$.
  Vì $P_0$ tương đương cột nước $10,0$ m nên $\rho g = \frac{P_0}{10,0}$.
  $\Rightarrow P_1 = P_0 + P_0 \cdot \frac{2,50}{10,0} = P_0 (1 + 0,25) = 1,25 P_0$.
• Tại mặt nước (độ sâu $h_2 = 0$):
  - Áp suất: $P_2 = P_0 = 1,00 \cdot 10^5$ Pa.
  - Thể tích: $V_2$ (cần tìm).

2. Áp dụng định luật Boyle:

Giả thiết nhiệt độ của nước không đổi trong quá trình bong bóng nổi lên, ta có:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

Thay các giá trị đã phân tích vào:

$(1,25 P_0) \cdot 0,42 = P_0 \cdot V_2$

Triệt tiêu $P_0$ ở cả hai vế:

$V_2 = 1,25 \cdot 0,42 = 0,525 \text{ cm}^3$

3. Các gần đúng đã áp dụng:

• Quá trình đẳng nhiệt: Giả thiết nhiệt độ của khối khí trong bong bóng không thay đổi khi di chuyển từ độ sâu 2,5m lên mặt nước.
• Khí lý tưởng: Coi oxygen trong bong bóng là khí lý tưởng.
• Bỏ qua sức căng bề mặt: Áp suất bên trong bong bóng được coi là bằng áp suất bên ngoài tại cùng độ sâu (bỏ qua áp suất bổ sung do sức căng bề mặt của màng bong bóng gây ra).

Kết luận: Thể tích của bong bóng khi đến mặt nước là 0,525 cm³.

1. Tóm tắt và đổi đơn vị:

• Thể tích: $V = 40,0\text{ dm}^3 = 40,0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3$.
• Áp suất: $p = 4,8 \cdot 10^5\text{ Pa}$.
• Khối lượng mol: $M = 44\text{ g/mol} = 0,044\text{ kg/mol}$.
• Nhiệt độ phòng: Thông thường được lấy là $t \approx 25^\circ\text{C}$, tương ứng với nhiệt độ tuyệt đối $T = 25 + 273 = 298\text{ K}$.

a) Tính số mol $\\text{CO}_2$ trong bình:

Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng: $pV = nRT \\Rightarrow n = \\frac{pV}{RT}$

Thay số:

$n = \\frac{(4,8 \\cdot 10^5) \\cdot (40,0 \\cdot 10^{-3})}{8,31 \\cdot 298} \\approx \\frac{19200}{2476,38} \\approx 7,75 \\text{ (mol)}$

b) Tính khối lượng $\\text{CO}_2$ trong bình:

Áp dụng công thức liên hệ giữa khối lượng và số mol: $m = n \\cdot M$

Thay số:

$m = 7,75 \\cdot 44 \\approx 341,0 \\text{ (g)}$

Kết luận:

• Số mol $\\text{CO}_2$ trong bình là khoảng 7,75 mol.
• Khối lượng $\\text{CO}_2$ trong bình là khoảng 341,0 g.

a) Tính động năng tịnh tiến trung bình của các nguyên tử Ne

Đổi nhiệt độ sang Kelvin:

• Ở $t_1 = 27 ^\\circ\text{C} \\Rightarrow T_1 = 27 + 273 = 300 \\text{ K}$.
• Ở $t_2 = 243 ^\\circ\text{C} \\Rightarrow T_2 = 243 + 273 = 516 \\text{ K}$.

Áp dụng công thức tính động năng tịnh tiến trung bình $\\bar{E}_k = \\frac{3}{2}k_B T$:

• Tại $T_1 = 300 \\text{ K}$:
  $\\bar{E}_{k1} = \\frac{3}{2} \\times 1,38 \\times 10^{-23} \\times 300 = 6,21 \\times 10^{-21} \\text{ J}$.
• Tại $T_2 = 516 \\text{ K}$:
  $\\bar{E}_{k2} = \\frac{3}{2} \\times 1,38 \\times 10^{-23} \\times 516 \\approx 1,067 \\times 10^{-20} \\text{ J}$.

b) So sánh áp suất gây ra bởi các phân tử Ne

Vì mẫu khí được chứa trong một xilanh (giả thiết thể tích $V$ không đổi và số phân tử $N$ không đổi), ta có công thức áp suất khí lí tưởng:

$p = \\frac{N}{V} \\frac{3}{2}k_B T$

Từ công thức trên, ta thấy áp suất $p$ tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối $T$. Lập tỉ số áp suất ở hai nhiệt độ:

$\\frac{p_2}{p_1} = \\frac{T_2}{T_1} = \\frac{516}{300} = 1,72$

Kết luận: Áp suất của mẫu khí neon ở $243 ^\\circ\text{C}$ lớn gấp 1,72 lần áp suất ở $27 ^\\circ\text{C}$.

Giải thích bản chất vật lí: Khi nhiệt độ tăng, động năng tịnh tiến trung bình của các nguyên tử Ne tăng lên $\\Rightarrow$ tốc độ chuyển động của các nguyên tử tăng $\\Rightarrow$ các nguyên tử va chạm vào thành bình với cường độ mạnh hơn và tần suất dày hơn, dẫn đến áp suất tác dụng lên thành bình tăng.

a) Giải thích nguyên nhân gây ra áp suất:

Các phân tử khí trong lốp xe chuyển động hỗn loạn không ngừng về mọi phía. Trong quá trình chuyển động, các phân tử này va chạm liên tục với nhau và va chạm vào thành lốp xe. Mỗi phân tử khi va chạm với thành lốp sẽ truyền cho thành lốp một xung lực. Tổng hợp tất cả các lực va chạm của vô số phân tử khí lên một đơn vị diện tích bề mặt thành lốp tạo nên áp suất của khí trong lốp.

b) Tính số mol khí trong mỗi lốp xe:

Đổi nhiệt độ sang Kelvin: $T_1 = 3,0 + 273,15 = 276,15 \text{ K}$.

Áp dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng $pV = nRT$, ta có:

$$n = \frac{p_1 V}{R T_1} = \frac{3,42 \cdot 10^5 \cdot 1,50}{8,31 \cdot 276,15} \approx 223,47 \text{ mol}$$

c) Khi nhiệt độ tăng lên đến 42 °C:

Đổi nhiệt độ: $T_2 = 42 + 273,15 = 315,15 \text{ K}$.

i. Tính áp suất trong lốp xe:

Vì thể tích $V$ và số mol $n$ không đổi, quá trình này là quá trình đẳng tích. Ta có:

$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$$

$$p_2 = 3,42 \cdot 10^5 \cdot \frac{315,15}{276,15} \approx 3,90 \cdot 10^5 \text{ Pa}$$

ii. Tính độ tăng động năng tịnh tiến trung bình:

Độ tăng nhiệt độ là: $\Delta T = T_2 - T_1 = 42 - 3 = 39 \text{ K}$.

Độ tăng động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử là:

$$\Delta \bar{K} = \frac{3}{2} k \Delta T = 1,5 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 39 \approx 8,07 \cdot 10^{-22} \text{ J}$$

Kết luận:
- Số mol khí trong mỗi lốp: $\approx 223,47 \text{ mol}$.
- Áp suất lúc giữa trưa: $\approx 3,90 \cdot 10^5 \text{ Pa}$.
- Độ tăng động năng trung bình: $\approx 8,07 \cdot 10^{-22} \text{ J}$.

Dựa vào công thức $\overline{v^2} = \frac{3k_B T}{m}$, ta thấy giá trị trung bình của bình phương tốc độ của các phân tử khí chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối $T$ và khối lượng $m$ của phân tử đó.

a) Khi nhiệt độ của không khí tăng lên:
\nVì $\overline{v^2}$ tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối $T$ ($\overline{v^2} \sim T$), nên khi nhiệt độ tăng, các phân tử khí nhận thêm năng lượng, chuyển động nhiệt hỗn loạn nhanh hơn. Do đó, giá trị trung bình của bình phương tốc độ của các phân tử không khí sẽ tăng lên.

b) Khi xét hai vị trí chênh lệch độ cao nhưng nhiệt độ không đổi:
\nGiá trị $\overline{v^2}$ chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ $T$ và khối lượng phân tử $m$. Vì nhiệt độ được cho là không đổi và bản chất của phân tử không khí (khối lượng $m$) không thay đổi theo độ cao, nên giá trị trung bình của bình phương tốc độ của các phân tử không khí tại hai vị trí này là như nhau (không thay đổi).

Kết luận:
\n- Nhiệt độ tăng $\Rightarrow \overline{v^2}$ tăng.
\n- Nhiệt độ không đổi $\Rightarrow \overline{v^2}$ không đổi (không phụ thuộc vào độ cao).

a) Tính số nguyên tử He trong bình:

Đổi khối lượng He: $m = 500,0 \text{ g} = 0,5 \text{ kg}$.
Khối lượng mol của Helium: $M = 4 \text{ g/mol} = 4 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$.

Số mol khí He có trong bình là:
$n = \frac{m}{M} = \frac{500,0}{4} = 125 \text{ mol}$.

Số nguyên tử He trong bình là:
$N = n \cdot N_A = 125 \cdot 6,022 \times 10^{23} \approx 7,5275 \times 10^{25} \text{ nguyên tử}$.

b) Tính thể tích bình:

Nhiệt độ tuyệt đối của khí: $T = 27 + 273,15 = 300,15 \text{ K}$ (có thể làm tròn thành $300 \text{ K}$).
Áp suất khí: $P = 5,0 \times 10^5 \text{ Pa}$.

Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng: $PV = nRT \Rightarrow V = \frac{nRT}{P}$

Thay số: $V = \frac{125 \cdot 8,31 \cdot 300,15}{5,0 \times 10^5} \approx 0,6237 \text{ m}^3$.
Vậy thể tích bình xấp xỉ $0,624 \text{ m}^3$ (hoặc $624 \text{ lít}$).

c) Giải thích hiện tượng nhiệt độ giảm:

Khi van bình được mở ra trong thời gian ngắn, một lượng khí thoát ra ngoài nhanh chóng. Quá trình này diễn ra như sau:

• Khi khí thoát ra, lượng khí còn lại trong bình sẽ giãn nở nhanh chóng để lấp đầy khoảng trống và đẩy lượng khí ra ngoài.
• Quá trình giãn nở này xảy ra rất nhanh, khiến nhiệt lượng từ môi trường bên ngoài không kịp truyền vào bình (quá trình gần đúng là đoạn nhiệt, $Q \approx 0$).
• Theo nguyên lí I Nhiệt động lực học: $\Delta U = Q - A$. Vì $Q \approx 0$ và khí thực hiện công $A > 0$ để đẩy khí ra ngoài, nên $\Delta U = -A < 0$.
• Nội năng $U$ của khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối $T$. Khi nội năng giảm ($\Delta U < 0$), nhiệt độ $T$ của khối khí còn lại trong bình sẽ giảm xuống.

a) Tính lực tối thiểu để nâng khinh khí cầu lên khỏi mặt đất

Khi khinh khí cầu ở trạng thái ban đầu, không khí bên trong và bên ngoài có cùng khối lượng riêng $\rho_0$.

• Khối lượng của không khí bên trong khí cầu: $m_{kk} = \rho_0 \cdot V = 1,29 \cdot 3,00 \cdot 10^3 = 3870 \text{ kg}$.
• Tổng khối lượng của toàn bộ hệ thống: $m_{total} = m_{vỏ+người} + m_{kk} = 450 + 3870 = 4320 \text{ kg}$.
• Tổng trọng lực tác dụng lên khinh khí cầu: $P_{total} = m_{total} \cdot g = 4320 \cdot 9,81 \approx 42379,2 \text{ N}$.
• Lực đẩy Archimedes từ không khí bên ngoài: $F_A = \rho_0 \cdot V \cdot g = 1,29 \cdot 3,00 \cdot 10^3 \cdot 9,81 \approx 37964,7 \text{ N}$.

Lực tối thiểu $F_{min}$ cần tác dụng để nâng khinh khí cầu lên là hiệu giữa trọng lực và lực đẩy Archimedes:

$F_{min} = P_{total} - F_A = 42379,2 - 37964,7 = 4414,5 \text{ N}$.

Nhận xét: Lực này thực chất chính là trọng lượng của khoang chứa và hành khách ($450 \cdot 9,81 \approx 4414,5 \text{ N}$) vì trọng lượng không khí bên trong đã được bù trừ bởi lực đẩy Archimedes.

b) Tính số mol không khí trong khí cầu

Đổi nhiệt độ sang Kelvin: $T_1 = 25 + 273,15 = 298,15 \text{ K}$.

Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng: $PV = nRT \Rightarrow n = \frac{PV}{RT}$.

$n = \frac{1,03 \cdot 10^5 \cdot 3,00 \cdot 10^3}{8,314 \cdot 298,15} \approx \frac{3,09 \cdot 10^8}{2478,82} \approx 124656,1 \text{ mol}$.

Vậy số mol không khí trong khí cầu khoảng $1,25 \cdot 10^5 \text{ mol}$.

c) Tính nhiệt độ tối thiểu để khinh khí cầu rời mặt đất

Để khinh khí cầu rời mặt đất, lực đẩy Archimedes phải cân bằng với tổng trọng lượng mới (khi một phần khí nóng đã thoát ra ngoài làm giảm khối lượng khí bên trong):

$F_A = (m_{vỏ+người} + m_{kk\_nóng}) \cdot g$

Thay $F_A = \rho_0 V g$ và $m_{kk\_nóng} = \rho_{nóng} V$ vào, ta có:

$\rho_0 V g = (450 + \rho_{nóng} V) g \Rightarrow \rho_{nóng} V = \rho_0 V - 450$

$\rho_{nóng} = \rho_0 - \frac{450}{V} = 1,29 - \frac{450}{3000} = 1,29 - 0,15 = 1,14 \text{ kg/m}^3$.

Vì áp suất bên trong khí cầu xấp xỉ áp suất khí quyển (do có lỗ thông hơi), ta sử dụng tỉ lệ giữa khối lượng riêng và nhiệt độ tuyệt đối:

$\frac{\rho_{nóng}}{\rho_0} = \frac{T_0}{T_{nóng}} \Rightarrow T_{nóng} = T_0 \cdot \frac{\rho_0}{\rho_{nóng}}$

$T_{nóng} = 298,15 \cdot \frac{1,29}{1,14} \approx 337,3 \text{ K}$.

Đổi sang độ C: $t_{nóng} = 337,3 - 273,15 \approx 64,15 \text{ } ^\circ\text{C}$.

Kết luận: Nhiệt độ tối thiểu mà không khí bên trong cần đạt tới để khinh khí cầu rời mặt đất là khoảng $64,2 \text{ } ^\circ\text{C}$.