Bài 3. Áp suất và động năng phân tử chất khí trang 44, 45, 46 Vật Lí 12 Cánh diều

Mối liên hệ giữa chuyển động của các phân tử khí và áp suất khí tác động lên thành bình được giải thích chi tiết qua các lập luận sau:

1. Chuyển động hỗn loạn: Các phân tử khí trong bình không đứng yên mà luôn chuyển động hỗn loạn, không ngừng về mọi phía với vận tốc rất lớn (chuyển động nhiệt).
2. Va chạm với thành bình: Trong quá trình chuyển động, các phân tử khí liên tục va chạm vào thành bình chứa. Vì số lượng phân tử khí là cực kỳ lớn, nên các va chạm này xảy ra liên tục và dày đặc trên mọi điểm của bề mặt thành bình.
3. Sự biến thiên động lượng: Khi một phân tử khí va chạm với thành bình và bật ngược trở lại, động lượng của nó bị thay đổi ($\Delta p$). Theo định luật II Newton, sự thay đổi động lượng trong một khoảng thời gian rất ngắn gây ra một lực tác động lên thành bình.
4. Hình thành áp suất: Tổng hợp tất cả các lực do hàng tỉ phân tử khí va chạm vào thành bình trong một đơn vị thời gian tạo nên một áp lực trung bình. Áp suất ($p$) chính là áp lực này chia cho diện tích bề mặt thành bình: $p = \\frac{F}{S}$.

Kết luận: Áp suất khí tỉ lệ thuận với tần số va chạm và cường độ va chạm (động năng) của các phân tử khí lên thành bình. Khi nhiệt độ tăng hoặc thể tích bình giảm (mật độ phân tử tăng), các phân tử va chạm vào thành bình nhiều hơn và mạnh hơn, dẫn đến áp suất tăng cao, dễ gây ra rò rỉ hoặc nổ bình như trong sự cố tại vịnh Mexico.

Để so sánh vận tốc của phân tử trước và sau va chạm đàn hồi với thành bình, ta lập luận như sau:

1. Về mặt năng lượng:
Theo định nghĩa, va chạm đàn hồi là va chạm mà trong đó động năng của vật trước và sau va chạm được bảo toàn. Công thức tính động năng của một phân tử khí là:
W_d = ½mv²
Trong đó: m là khối lượng phân tử, v là tốc độ (độ lớn của vận tốc).

Vì động năng W_d không đổi và khối lượng m của phân tử không đổi, nên độ lớn của vận tốc (tốc độ) của phân tử trước và sau va chạm phải bằng nhau:
|v_trước| = |v_sau|

2. Về mặt vectơ vận tốc:
Vận tốc là một đại lượng vectơ. Khi va chạm với thành bình, phân tử sẽ bị phản xạ. Nếu thành bình phẳng, thành phần vận tốc vuông góc với thành bình sẽ đổi chiều, trong khi thành phần vận tốc song song với thành bình không thay đổi.

Kết luận:
Về độ lớn, vận tốc của phân tử trước và sau va chạm đàn hồi với thành bình là bằng nhau. Tuy nhiên, về hướng, vận tốc của phân tử đã thay đổi (bị bật ngược trở lại).

Giả sử ta có một khối khí với mật độ phân tử là $\mu$ (số phân tử trong một đơn vị thể tích) và tốc độ trung bình của các phân tử là $v$. Xét một phần diện tích $A$ trên thành bình của vật chứa.

Bước 1: Xác định vùng không gian va chạm
Trong khoảng thời gian $\Delta t$, những phân tử khí có thể va chạm với diện tích $A$ là những phân tử nằm trong một hình trụ có tiết diện là $A$ và chiều cao là quãng đường mà phân tử di chuyển được: $s = v \cdot \Delta t$.

Bước 2: Tính thể tích vùng va chạm
Thể tích của vùng không gian hình trụ này là: $$\Delta V = A \cdot v \cdot \Delta t$$

Bước 3: Tính số phân tử trong vùng va chạm
Vì $\mu$ là số phân tử trong một đơn vị thể tích, nên tổng số phân tử $N$ nằm trong vùng $\Delta V$ là: $$N = \mu \cdot \Delta V = \mu \cdot A \cdot v \cdot \Delta t$$

Bước 4: Tính số phân tử va chạm trên một đơn vị diện tích trong 1 giây
Số phân tử va chạm với diện tích $A$ trong thời gian $\Delta t$ là $N$. Vậy số phân tử va chạm với một đơn vị diện tích (chia cho $A$) trong một đơn vị thời gian (chia cho $\Delta t$) là: $$n = \frac{N}{A \cdot \Delta t} = \frac{\mu \cdot A \cdot v \cdot \Delta t}{A \cdot \Delta t} = \mu v$$

Kết luận: Như vậy, số phân tử đến va chạm với một đơn vị diện tích thành bình trong 1 giây là $\mu v$, với $v$ là tốc độ trung bình của các phân tử khí và $\mu$ là số phân tử trong một đơn vị thể tích. (Đpcm)

Để giải thích vì sao độ lớn lực $F$ trong công thức (3.2) bằng lực do phân tử khí tác dụng lên thành bình, ta lập luận theo các bước sau:

1. Xét biến thiên động lượng của phân tử khí:
Giả sử một phân tử khí có khối lượng $m$ chuyển động với vận tốc $v_x$ theo phương vuông góc với thành bình. Khi va chạm đàn hồi với thành bình, phân tử bật ngược trở lại với vận tốc $-v_x$.
Độ biến thiên động lượng của phân tử là:
$\Delta p = p_{sau} - p_{trước} = m(-v_x) - m(v_x) = -2mv_x$.

2. Lực do thành bình tác dụng lên phân tử:
Theo Định luật II Newton, lực trung bình $F_{thành \to phân tử}$ mà thành bình tác dụng lên phân tử trong khoảng thời gian va chạm $\Delta t$ là:
$F_{thành \to phân tử} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-2mv_x}{\Delta t}$.
Độ lớn của lực này là: $|F_{thành \to phân tử}| = \frac{2mv_x}{\Delta t}$.

3. Vận dụng Định luật III Newton:
Khi thành bình tác dụng lên phân tử một lực $F_{thành \to phân tử}$, thì phân tử khí đồng thời tác dụng ngược lại thành bình một lực $F_{phân tử \to thành}$ có cùng độ lớn nhưng ngược chiều:
$F_{phân tử \to thành} = -F_{thành \to phân tử}$.
Do đó, độ lớn của lực do phân tử khí tác dụng lên thành bình chính bằng độ lớn của lực mà thành bình tác dụng lên phân tử.

Kết luận: Vì vậy, công thức (3.2) xác định độ lớn $F = \frac{2mv_x}{\Delta t}$ chính là độ lớn của lực mà mỗi phân tử khí tác dụng lên thành bình khi va chạm.

Để trả lời câu hỏi này, ta cần phân tích đặc điểm chuyển động của các phân tử khí trong bình dựa trên lý thuyết động học phân tử:

1. Tính chất chuyển động: Trong một bình chứa khí, các phân tử khí không đứng yên mà chuyển động hỗn loạn (chuyển động nhiệt). Các phân tử va chạm với nhau và va chạm với thành bình một cách ngẫu nhiên.
2. Hướng chuyển động: Vì chuyển động là hỗn loạn, nên tại mỗi thời điểm, các phân tử sẽ chuyển động theo mọi hướng có thể trong không gian 3 chiều (trục x, y, z và tất cả các hướng trung gian).
3. So sánh số lượng: Một 'trục xác định' chỉ là một đường thẳng duy nhất trong vô số các hướng có thể có trong không gian. Xác suất để một phân tử chuyển động chính xác dọc theo một trục xác định là cực kỳ nhỏ.

Kết luận: Số phân tử chuyển động trên một trục xác định là rất ít (không đáng kể) so với tổng số phân tử khí có trong bình. Hầu hết các phân tử chuyển động theo các hướng khác nhau trong không gian.

Xét một bình hình lập phương cạnh $L$, thể tích $V = L^3$, chứa $N$ phân tử khí, mỗi phân tử có khối lượng $m$.

Bước 1: Xét một phân tử khí
Giả sử một phân tử chuyển động với vận tốc $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$. Khi va chạm đàn hồi với thành bình vuông góc với trục $Ox$, vận tốc theo phương $x$ đổi chiều từ $v_x$ thành $-v_x$.
Độ biến thiên động lượng của phân tử là: $\Delta p_x = m(-v_x) - mv_x = -2mv_x$.
Theo định luật bảo toàn động lượng, lực mà phân tử tác dụng lên thành bình có độ lớn là: $\Delta p_{wall} = 2mv_x$.

Bước 2: Tính lực trung bình của một phân tử
Thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp vào cùng một thành bình là: $\Delta t = \frac{2L}{v_x}$.
Lực trung bình mà một phân tử tác dụng lên thành bình là:
$F_1 = \frac{\Delta p_{wall}}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{2L/v_x} = \frac{mv_x^2}{L}$

Bước 3: Tính áp suất do $N$ phân tử
Tổng lực tác dụng lên thành bình diện tích $S = L^2$ là tổng lực của $N$ phân tử: $F = \sum_{i=1}^{N} \frac{mv_{xi}^2}{L} = \frac{m}{L} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2$.
Áp suất $p$ là lực trên một đơn vị diện tích:
$p = \frac{F}{S} = \frac{m}{L \cdot L^2} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 = \frac{m}{L^3} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 = \frac{m}{V} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2$

Bước 4: Sử dụng giá trị trung bình và tính đẳng hướng
Ta có bình phương vận tốc trung bình theo phương $x$ là: $\overline{v_x^2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 \implies \sum_{i=1}^{N} v_{xi}^2 = N\overline{v_x^2}$.
Thay vào công thức áp suất: $p = \frac{m N \overline{v_x^2}}{V} = \mu m \overline{v_x^2}$ (với $\mu = \frac{N}{V}$ là số phân tử trong một đơn vị thể tích).
Vì các phân tử chuyển động hỗn loạn không ưu tiên hướng nào, nên: $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$.
Mà $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2} \implies \overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$.

Kết luận: Thay $\overline{v_x^2}$ vào biểu thức áp suất, ta được công thức cần chứng minh:

1. Tóm tắt các thông số đề bài:
- Áp suất: P = 10⁵ Pa
- Khối lượng riêng: ρ = 1,29 kg/m³
- Tìm: Giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử (&overline{v²})

2. Lập luận và tính toán:
Từ công thức cơ bản của thuyết động học phân tử:
P = 1/3 ρ &overline{v²}
Ta rút ra công thức tính giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử:
&overline{v²} = 3P / ρ

Thay các giá trị đã cho vào công thức:
&overline{v²} = (3 × 10^{5}) / 1,29
&overline{v2} ≈ 232 558,14 (m2/s2)}

3. Kết luận:
Giá trị trung bình của bình phương tốc độ các phân tử không khí ở điều kiện nhiệt độ phòng và áp suất 10⁵ Pa là khoảng 2,33 × 10⁵ m²/s².

Để thực hiện biến đổi từ công thức (3.3) và phương trình trạng thái khí lí tưởng để rút ra công thức (3.6), ta tiến hành theo các bước lập luận chặt chẽ sau:

Bước 1: Xuất phát từ công thức (3.3) biểu diễn áp suất chất khí:

$p = \frac{1}{3} \frac{N m \overline{v^2}}{V}$ (1)

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với thể tích $V$, ta được:

$pV = \frac{1}{3} N m \overline{v^2}$ (2)

Bước 2: Xét biểu thức động năng trung bình của một phân tử khí:

$\overline{E_d} = \frac{1}{2} m \overline{v^2} \implies m \overline{v^2} = 2\overline{E_d}$ (3)

Thay biểu thức (3) vào phương trình (2), ta có mối liên hệ giữa áp suất, thể tích và động năng trung bình:

$pV = \frac{1}{3} N (2\overline{E_d}) = \frac{2}{3} N \overline{E_d}$ (4)

Bước 3: Theo phương trình trạng thái của khí lí tưởng cho $N$ phân tử:

$pV = NkT$ (5)

Trong đó $k$ là hằng số Boltzmann ($k \approx 1,38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$).

Bước 4: Từ (4) và (5), vì cả hai biểu thức đều bằng $pV$, ta cho chúng bằng nhau:

$\frac{2}{3} N \overline{E_d} = NkT$

Triệt tiêu $N$ ở cả hai vế, ta thu được:

$\frac{2}{3} \overline{E_d} = kT \implies \overline{E_d} = \frac{3}{2} kT$

Kết luận: Đây chính là công thức (3.6), cho thấy động năng trung bình của phân tử khí lí tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối $T$ của khối khí.

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phân tích mối liên hệ giữa nhiệt độ và tốc độ của các phân tử khí lí tưởng dựa trên thuyết động học phân tử.

1. Cơ sở lí thuyết:
Theo thuyết động học phân tử, động năng trung bình của một phân tử khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của khối khí theo công thức:
$$\\bar{E}_k = \\frac{3}{2}kT$$
Trong đó: $k$ là hằng số Boltzmann. Mặt khác, động năng của một phân tử có khối lượng $m$ chuyển động với tốc độ $v$ được tính bởi:
$$\\bar{E}_k = \\frac{1}{2}m v_{rms}^2$$
Từ hai biểu thức trên, ta có:
$$\\frac{1}{2}m v_{rms}^2 = \\frac{3}{2}kT \\implies v_{rms} = \\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

2. Tính toán cụ thể:
Gọi $v_1$ là tốc độ căn trung bình bình phương ở nhiệt độ $T_1 = 300\text{ K}$ và $v_2$ là tốc độ căn trung bình bình phương ở nhiệt độ $T_2 = 600\text{ K}$.
Ta có tỉ số:
$$\\frac{v_2}{v_1} = \\sqrt{\\frac{T_2}{T_1}} = \\sqrt{\\frac{600}{300}} = \\sqrt{2} \\approx 1,41$$

3. Kết luận:
Khi tăng nhiệt độ tuyệt đối của một lượng khí lí tưởng lên gấp đôi (từ $300\text{ K}$ đến $600\text{ K}$), tốc độ của các phân tử khí chỉ tăng lên khoảng $\\sqrt{2}$ lần (tức là tăng thêm khoảng $41\\%$), chứ không tăng gấp đôi. Điều này là do tốc độ tỉ lệ với căn bậc hai của nhiệt độ tuyệt đối, trong khi động năng mới là đại lượng tỉ lệ thuận trực tiếp với nhiệt độ.

1. Lập luận bản chất vật lí:

Vì các khí nitrogen ($\text{N}_2$), oxygen ($\text{O}_2$), và carbon dioxide ($\text{CO}_2$) cùng tồn tại trong không khí, chúng ở trạng thái cân bằng nhiệt, nghĩa là có cùng nhiệt độ $T$.

Theo thuyết động học phân tử, động năng trung bình của phân tử khí chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của khí theo công thức:

$\overline{E}_k = \frac{3}{2}k_B T$

Mặt khác, động năng của một phân tử khối lượng $m$ chuyển động với tốc độ bình phương trung bình $\overline{v^2}$ được tính bằng: $\overline{E}_k = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$.

Từ hai biểu thức trên, ta có:

$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}k_B T \implies \overline{v^2} = \frac{3k_B T}{m}$

Vì $3k_B T$ là hằng số đối với cả ba loại khí trong cùng một môi trường không khí, nên giá trị $\overline{v^2}$ tỉ lệ nghịch với khối lượng phân tử $m$.

2. So sánh cụ thể:

Xét khối lượng mol (M) của các chất khí:

• $M(\text{N}_2) \approx 28 \text{ g/mol}$
• $M(\text{O}_2) \approx 32 \text{ g/mol}$
• $M(\text{CO}_2) \approx 44 \text{ g/mol}$

Ta thấy: $m(\text{N}_2) < m(\text{O}_2) < m(\text{CO}_2)$.

Vì $\overline{v^2}$ tỉ lệ nghịch với $m$, ta suy ra kết luận về giá trị bình phương tốc độ trung bình:

$\overline{v^2}(\text{N}_2) > \overline{v^2}(\text{O}_2) > \overline{v^2}(\text{CO}_2)$

Kết luận: Trong không khí, phân tử nitrogen có tốc độ bình phương trung bình lớn nhất, tiếp theo là oxygen và nhỏ nhất là carbon dioxide.