Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;\,0;\,1)\). Tìm tọa độ điểm \(C\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AC\,} = \left( {3\,;\,3\,;0} \right)\)?
\(C\left( {4\,;\,3\,;1} \right)\).
Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\).
Tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) bằng
\(\overrightarrow {AG} \).
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 1}}{3}\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right)\).
Nghiệm của phương trình \({2^{2 – x}} = 8\) là:
\(x = - 1\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = \frac{{3a}}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
\({60^0}\).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\int {F'\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{x – 1}}{x}dx} \).
\(I = 1 - \ln 2\).
Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường
Cân nặng (g)
[250; 290)
[290; 330)
[330; 370)
[370; 410)
[410; 450)
Số quả xoài
3
13
18
11
5
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng
\(200\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 5 \hfill \\
{u_n} = 3{u_{n – 1}},\,\,\forall n \geqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là
một cấp số nhân có công bội bằng 3.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình bên và \(a,b,c,d\) là các số thực. Khẳng định nào sau đây là đúng
\(a + d < 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
\(3\).
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\sin 2x – 1 = 0\) là
\(2\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _3}\left( {5x – 3} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Đường ống dẫn dầu trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phẩm dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm., những nơi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi.
Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)thích hợp, mặt đất là mặt phẳng \((Oxy)\), đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = t} \\
{z = 20}
\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).
Vì địa hình phức tạp, người ta chọn điểm \(A(15;10;15)\) để làm điểm trung chuyển dầu từ mặt đất đến đường ống này.
Điểm đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \((Oxy)\) có tọa độ \({A^\prime }( - 15; - 10;15)\).
Di tích Thành Nhà Hồ nằm trên địa phận huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa đã được UNESCO công nhận là di sản văn hóa thế giới vào ngày 27/6/2011. Thành có bốn cổng xây bằng đá ở bốn phía Đông – Tây – Nam – Bắc (Tiền – Hậu – Tả – Hữu), trong đó cổng phía Nam gồm 3 cửa (như hình bên dưới), mỗi phía còn lại chỉ có một cửa, các cửa thành được xây kiểu vòm cuốn.
Trong một buổi trải nghiệm thực tế, một nhóm học sinh thực hiện đo đạc chính giữa cổng phía Nam để tính diện tích phần gỗ của cửa giữa và thu được các kết quả sau: Bề rộng của cửa dưới mặt đất là \(5,82m\), hai bên mép cửa (coi như vuông góc với mặt đất) có độ cao \(2,25m\). Vòm cửa có dạng đồ thị của một parabol có đỉnh nằm ở trên đỉnh vòm. Chiều cao từ mặt đất đến đỉnh trên của thành là \(9,5m\), khoảng cách từ đỉnh vòm đến mặt trên của thành là\(3,75m\). Nhóm học sinh chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\)sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm ở điểm chính giữa đoạn thẳng nối hai chân cửa, trục \(Ox\) đi qua hai chân cửa, tia \(Oy\) hướng lên trên và đi qua đỉnh vòm, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 mét.
Với hệ trục tọa độ \(Oxy\) đã chọn, tọa độ đỉnh của parabol là điểm \(I(0;3,75).\)
Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất sản xuất \(60{\% }\) và phân xưởng thứ hai sản xuất \(40{\% }\) tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là \(16{\% }\) và \(20{\% }\). Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.
Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ hai sản xuất là cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất.
Bác Bình có một chậu cảnh trồng hoa hình chóp cụt tứ giác đều với chiều cao 30 cm, cạnh đáy lần lượt là 20 cm và 40 cm.
Bác Bình đổ đất vào chậu để tiến hành trồng, chiều cao của đất bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của chậu. Tính thể tích lượng đất bác Bình đã đổ vào chậu theo \({d}{{m}^3}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Một xe vận tải đang ờ kho hàng và cần giao cho 4 khách hàng tại các địa điểm khác nhau. Các khoàng cách giữa các địa điềm được ghi lại như sau:
Địa điểm
Kho hàng
Khách hàng A
Khách hàng B
Khách hàng C
Khách hàng D
Kho hàng
0 km
10 km
15 km
20 km
25 km
Khách hàng A
10 km
0 km
8 km
12 km
10 km
Khách hàng B
15 km
8 km
0 km
10 km
5 km
Khách hàng C
20 km
12 km
10 km
0 km
6 km
Khách hàng D
25 km
10 km
5 km
6 km
0 km
Vậy khoảng cách tối thiểu để hoàn thành lộ trình giao hàng cho tất cả các khách hàng và quay lại kho hàng là bao nhiêu kilomet?
Sản lượng táo trên mỗi cây khi thu hoạch lệ thuộc vào mật độ cây được trồng. Với cùng một phương pháp chăm sóc như nhau, nếu trên mỗi sào đất được trồng \(n\) cây táo thì người ta ước ính trung bình sản lượng táo khi thu hoạch là \(f\left( n \right) = – 0,06{n^2} – 0,4n + 320\) (kg/cây) (\(1\) sào Trung bộ bằng \(500{m^2}\)). Biết rằng bình quân chi phí giống và chăm sóc cho mỗi kg táo từ lúc trồng cho đến khi thu hoạch là \(560\) nghìn đồng mỗi cây. Giá bán mỗi kg táo là \(50\) nghìn đồng/kg, với giá bán này thì tất cả lượng táo thu hoạch đều được bán hết. Em hãy cho biết nên trồng trung bình bao nhiêu cây táo trên mỗi sào đất để mang về lợi nhuận cao nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Một viên đạn được bắn thử theo phương ngang vào một chất lỏng nhớt với vận tốc ban đầu \({v_0} = 900(\;{m}/{s})\). Khi vào môi trường nhớt do lực cản tỷ lệ thuận vời bình phương vận tốc nên gia tốc của viên đạn thỏa mãn \(a(t) = – k \cdot {v^2}(t)\) với \(v(t)\) là vận tốc của vật trên môi trường nhớt tính bằng \({m}/{s}(v(t) > 0),t\) là thời gian kể từ lúc viên đạn đi vào môi trường nhớt tính bằng giây, \(k\) là hằng số thực. Biết vận tốc của viên đạn tại thời điểm \(t = 0,5\) bằng \(90\;{m}/{s}\).
Quãng đường mà viên đạn kể từ khi đi vào môi trường nhớt cho đến khi nó có vận tốc \(450\;{m}/{s}\) bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Xét Trái Đất trong không gian Oxyz, với O là tâm Trái Đất, tia Ox chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia Oz chứa điểm cực Bắc N, tia Oy giao với xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với bán kính Trái Đất là 6371 km. Ta nói một điểm P thuộc bán cầu Bắc có vĩ độ là \({\alpha ^0}\)Bắc (ghi là \({\alpha ^0}N\)) khi góc giữa đường thẳng OP và mặt phẳng chứa xích đạo bằng \({\alpha ^0}\) (hình vẽ minh họa).
Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) cho phép xác định tọa độ một điểm
bất kỳ trên mặt đất. GPS hoạt động bằng cách truyền tín hiệu từ mạng lưới vệ tinh quay quanh
Trái Đất đến thiết bị thu GPS trên mặt đất. Trong cùng một thời điểm, thiết bị thu GPS cần xác
định khoảng cách từ nó đến ít nhất ba vệ tinh để tính được tọa độ của nó.
Giả sử tại một thời điểm, một thiết bị thu GPS đặt tại M thuộc bán cầu Bắc trên mặt đất, thiết bị
thu GPS này đo được khoảng cách đến các vệ tinh đang ở vị trí \(A\left( {3;1;2} \right),{ }B\left( {3;2;1} \right),{ }C\left( {3;6;4} \right)\) lần lượt là \(MA = \frac{{\sqrt {265} }}{5},MB = \sqrt {11} ,MC = \frac{{11\sqrt {10} }}{5}.\) Em hãy cho biết vĩ độ tại M là bao nhiêu độ Bắc? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Một hộp chứa 10 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Bạn An lấy ngẫu nhiên một lượt 2 viên bi từ hộp, xem màu, rồi đặt lại vào hộp. Nếu trong 2 viên bi An lấy ra có ít nhất một bi màu đỏ thì bạn Bình sẽ lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp; còn nếu trong 2 viên bi An lấy ra không có viên bi nào màu đỏ thì Bình sẽ lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để An lấy được ít nhất 1 viên bi màu đỏ, biết rằng tất cả viên bi hai bạn lấy ra đều có đủ hai màu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Kết quả: