Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\). Khi đó
\(\int {f\left( x \right){d}x} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;0; – 1} \right)\) và điểm \(N\left( {3;2; – 9} \right)\). Đường thẳng \(MN\) có phương trình là
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( {1; – 4;1} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16\).
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = a\), \(a > 0\) ( phần tô đậm trong hình vẽ) được tính theo công thức
\(S = \int\limits_0^c {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \).
Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:
Trung vị của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là:
\(7,47\).
Giải bất phương trình \({lo}{{g}_2}\left( {3x – 1} \right) < 3\) được tập nghiệm là \(\left( {a;b} \right)\). Hãy tính tổng \(S = a + b\).
\(S = \frac{{10}}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AB = a,BC = 2a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 5 \) (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng
\(45^\circ \).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 9\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
\(6\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như Hình.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
\(\left( {1;2} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực đại của hàm số là
\(x = 1\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\).Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 10 viên bi gồm 6 bi xanh và 4 bi đỏ, xác suất chọn được 3 viên bi màu xanh là
\(\frac{1}{6}\).
Vịnh Hạ Long là một địa danh du lịch được nhiều người biết đến trên thế giới, nơi đây vẫn còn nhiều quần thể đảo lớn nhỏ chưa được khám phá. Một công ty du lịch quyết định khai thác khu vực có một số đảo nhỏ với hình dáng đặc biệt nếu nhìn từ trên xuống; trong số đó có hai hòn đảo mà phần giới hạn đất liền của nó được mô phỏng như hai đồ thị hàm số trên hình. Với hệ trục tọa độ Oxy thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là 100 mét, đường cong mô tả cho hòn đảo thứ nhất có dạng \(y = {\log _a}x\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( {3\,;\,\,1} \right)\).
Điểm có tọa độ \(\left( {9\,;\,\,3} \right)\) thuộc đường cong \(y = {\log _a}x\).
Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm \(t\left( {0 \leqslant t \leqslant 29} \right)\) là \(h\left( t \right),\) trong đó \(t\) tính bằng phút, \(h\left( t \right)\) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right),\) với \(t\) tính bằng phút, \(v\left( t \right)\) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao \(520\) m và \(5\) phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao \(530\) m. Khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát sau \(15\) phút.
Giai đoạn khinh khí cầu tăng độ cao kéo dài trong \(10\) phút kể từ thời điểm xuất phát.
Trong không gian, xét hệ toạ độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt biển (được gọi là mặt phẳng) với tia \(Ox\) hướng về phía nam, tia \(Oy\) hướng về phía đông, tia \(Oz\) hướng thẳng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi \(30\,km\). Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí \(A\) ở độ sâu \(10\,km\) so với mặt nước biển, cách \(O\) \(25\,km\) về phía nam và \(15\,km\) về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí \(B( – 20;15;0)\).
Trong cuộc khảo sát ngẫu nhiên \(600\) học sinh về việc “thích học” hay “không thích học” môn toán. Kết quả thống kê như sau: có \(400\) học sinh trả lời “thích học” và \(200\) học sinh trả lời “không thích học”. Thực tế cho thấy tỉ lệ học sinh “giỏi toán” tương ứng với những cách trả lời “thích học” và “không thích học” lần lượt là \(70\% \) và \(10\% \).
Gọi \(T\) là biến cố “Học sinh được phỏng vấn trả lời thích học môn toán”.
Gọi \(G\) là biến cố “Học sinh được phỏng vấn giỏi toán”.
Xác suất có điều kiện \(P\left( {G|T} \right) = 0,3\), \(P\left( {G|\overline T } \right) = 0,9\).
Anh \(A\) mở một nhà hàng lẩu. Anh đã trang bị cho mỗi bàn ăn một nồi lẩu có dạng hai hình trụ đồng trục. Bán kính đáy nồi (ngoài) là \(R = 15\,cm\), bán kính trụ giữa (trong) là \(r = 3,5\,cm\), chiều cao lòng nồi là \(h = 10\,cm\). Để khách hàng có trải nghiệm tốt nhất, anh \(A\) cần xác định chiều dài tối thiểu \(L\) của chiếc đũa sao cho dù đầu đũa có bị trượt vào vị trí nào trong nồi, phần đầu đũa thừa ra ngoài miệng nồi vẫn phải lớn hơn \(5\,cm\). Tính \(L\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Tại một khu trung tâm dữ liệu, kỹ sư IT cần kiểm tra kết nối giữa các máy chủ trong hệ thống gồm các trạm \(A,B,C,D,E\). Các tuyến cáp quang nối giữa các trạm được biểu diễn trong sơ đồ sau, với con số ghi trên mỗi tuyến là chiều dài dây cáp (đơn vị: km).
Kỹ sư cần thực hiện một hành trình bắt đầu từ một trạm bất kỳ, đi qua tất cả các tuyến cáp ít nhất một lần và kết thúc tại đúng trạm khởi hành, nhằm đảm bảo toàn bộ hệ thống được kiểm tra. Tổng chiều dài đường đi ngắn nhất mà kỹ sư cần di chuyển là bao nhiêu km?
Xét trong không gian \(Oxyz\) (mỗi đơn vị là \(1\) mét) một xưởng sản xuất có mặt phẳng làm việc nằm ngang (mặt phẳng \(z = 0\)) và một bức tường thẳng đứng (mặt phẳng \(x = 0\)). Trên sàn đặt trụ cấp tại điểm \(B\left( {20;\, – 5;\,0} \right)\). Từ trên tường đặt bình áp lực tại điểm \(A\left( {0;\,30;\,12} \right)\). Người ta lắp đặt đường ống nước từ \(B\) đến \(A\) qua ba đoạn (tham khảo hình vẽ bên dưới)
1. Đoạn \(BM\) nằm trên sàn: \(M\left( {0;\,y;\,0} \right)\) với \( – 5 \leqslant y \leqslant 30\).
2. Đoạn \(MN\) thẳng đứng: \(N\left( {0;\,y;\,12} \right)\) với \( – 5 \leqslant y \leqslant 30\).
3, Đoạn \(NA\) nằm ngang trên tường.
Biết chi phí lắp đặt:
– Ống nằm ngang (trên hoặc dưới sàn): \(150\,000\) đồng/m.
– Ống thẳng đứng: \(300\,000\) đồng/m.
Hỏi chi phí ít nhất để lắp đặt đường ống nước trên là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Hai công ty, công ty A và công ty B, cùng ra mắt sản phẩm cạnh tranh thị trường mới vào cùng thời điểm. Thị phần được đo bằng số lượng khách hàng lũy kế.
Công ty A: Bắt đầu với 0 khách hàng. Trong giai đoạn đầu, chiến dịch marketing hiệu quả giúp tốc độ thu hút khách hàng mới của họ tăng dần theo thời gian, được mô tả bởi hàm \(f\left( t \right) = 2t + 7\) (nghìn khách hàng/tháng), với \(t\) là số tháng kể từ khi ra mắt.
Công ty B: Nhờ có uy tín từ trước, họ bắt đầu với 10 nghìn khách hàng đặt trước sản phẩm. Sau đó, họ duy trì một tốc độ thu hút khách hàng mới ổn định là 10 nghìn khách hàng/tháng.
Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng kể từ khi ra mắt, tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty A bằng tổng số lượng khách hàng lũy kế của công ty B (tính cả 10 nghìn khách hàng ban đầu)?
Trong không gian \(Oxyz\), toạ độ các khu vực được xác định như sau:
* Khu vực \(A(20;30;0)\) nằm trên mặt đất và cách trung tâm thành phố \(2\) km.
* Khu vực \(B(70;50;40)\) nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao \(40\)m.
* Khu vực \(C(50;80;70)\) nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao \(70\)m.
Gọi vị trí đặt trạm phát sóng là \(D(a;b;c)\) sao cho khoảng cách từ \(D\) đến ba khu vực trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).
Bé Dũng có một tam giác đều lớn được chia thành 9 tam giác đều nhỏ hơn gồm 2 hàng: hàng trên cùng có 1 tam giác, hàng giữa có 3 tam giác, hàng dưới cùng có 5 tam giác. Bé Dũng có 3 màu để tô khác nhau là Đỏ, Xanh, Vàng. Bé tô mỗi tam giác nhỏ bằng một trong ba màu đó với điều kiện là “không có hai tam giác nhỏ chung cạnh nào lạu có cùng màu”. Có bao nhiêu cách khác nhau để bé Dũng tô màu tam giác lớn này?
Kết quả: