Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x – 1} \right) = 2\) là
\(x = 5\).
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} – 1\) là
\({x^3} - x + C\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3\) và công bội \(q = 2\). Giá trị của \({u_2}\) bằng
\(6.\)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của dân cư khu phố A như sau:
Nhóm
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60)
[60;70)
[70;80)
Số người
24
26
20
15
11
4
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
\(22,95\).
Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):2x-4y+5z-1=0\). Vectơ nào là một vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\)?
\(\vec{n}=(2;-4;5)\)
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\).
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\((-\infty;0)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(\left( d \right)\)đi qua điểm \(M\left( {1;\, – 2;\,3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 3z – 1 = 0\) là?
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}\).
Phương trình \(\sin x = – \frac{1}{2}\) có tập nghiệm là
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^2 {f’\left( x \right){\text{d}}x = – 3} \). Tính \(f\left( 2 \right)\)?
\(f\left( 2 \right) = - 3\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) như hình bên.
\((ACC'A')\perp(BDD'B')\)
[LÊ THÁNH TÔNG-HCM-2026]
Bạch Đằng sóng dậy một trời đông,Cọc ngầm dựng thẳng khóa muôn dòng,Nam Hán thuyền tan theo triều xuống,Toàn quân giặc chết gối non sông.
Chiến thắng Bạch Đằng năm 938 là đỉnh cao nghệ thuật quân sự, khi Ngô Quyền đã đoán định chính xác nhịp lên xuống của thủy triều để nhử thuyền quân Nam Hán vào sâu bến trong, rồi phản công đúng thời khắc nước rút, qua đó đánh đuổi được giặc xâm lăng ra khỏi bờ cõi.
Để mô hình hóa chiến thuật “cắm cọc nước rút” ấy dưới lăng kính Giải tích, ta xét bài toán sau:
Xét một bãi cọc được đóng xuống bùn theo phương thẳng đứng; chiều cao mỗi cọc (tính từ mặt bùn đến đầu cọc)là \(2,4m\).
Gọi \(h\left( t \right)\) (tính bằng mét) là độ sâu mực nước tại bãi cọc (tính từ mặt bùn đến mặt nước)ở thời điểm \(t\) (giờ), trong đó \(t = 0\) ứng với thời điểm 09:00, \(0 \leqslant t \leqslant 4\). Thời gian này, mực nước rút nên \(h\left( t \right)\) theo quy luật \(h\prime \left( t \right) = – 0,25t – 0,05\left( {\;{\text{m}}/{\text{ gi\`o }}} \right).\) Biết rằng vào lúc 09:00, mực nước tại bãi cọc cao hơn mặt bùn \(3,3\;{\text{m}}\) (tức là \(h\left( 0 \right) = 3,3\) ).
Khi Ngô Quyền phát lệnh phản công, ông biết rằng thuyền địch sẽ quay đầu tháo chạy và mất 12 phút để tới bãi cọc. Ngô Quyền muốn đúng lúc thuyền địch tới bãi cọc thì đầu cọc vừa nhồ lên khỏi mặt nước \(0,5\;{\text{m}}\).
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Từ 09:00 đến 10:00, mực nước giảm đúng \(0,19\;{\text{m}}\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy ABCD là hình vuông cạnh có độ dài bằng \(a\). Đường thẳng \(A’C\) tạo với đáy \(ABCD\) góc \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha = \sqrt 2 \).
Khoảng cách giữa BD và \(CD'\) bằng \(\frac{a}{3}\).
Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính \(R\) của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng \(d\) (như hình vẽ)
Máy dò tín hiệu A có thể nhận được tín hiệu trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính 2 km. Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ \(O\) của hệ trục tọa độ \(Oxyz\), thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 – t} \\
{y = 5 – t} \\
{z = 7 – 2t}
\end{array}} \right.\) (trong đó \(t(h)\) là thời gian chuyển động).
Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gằn máy phát tín hiệu P nhất là mặt cầu có phương trình\({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4.\)
Một loại xét nghiệm nhanh cúm mùa cho kết quả dương tính với \(76,2\% \) các ca thực sự nhiễm vius và kết quả âm tính với \(99,1\% \) các ca thực sự không nhiễm vius. Giả sử tỉ lệ người nhiễm vius cúm mùa trong một cộng đồng là \(1\% \). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của các ca thực sự nhiễm vius là: \(0,23\).
Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). \(AB = AD = 4(m);BC = 3,5(m);B{B^\prime } = 6(m)\) (xem hình vẽ). Ở bức tường \(AD{D^\prime }{A^\prime }\) người ta lắp một bóng điện cách cạnh \({A^\prime }{D^\prime }\) một khoảng bằng \(3(m)\) và cách mặt sàn một khoảng bằng \(3(m)\), còn ở bức tường \(BC{C^\prime }{B^\prime }\) người ta lắp một bóng điện cách cạnh \({B^\prime }{C^\prime }\) một khoảng bằng \(3(\;{\text{m}})\) và cách mặt sàn một khoảng bằng \(2,5(\;{\text{m}})\). Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) cách cạnh \({A^\prime }{D^\prime }\) một khoảng bằng \(1(m)\)và cao \(1,5(\;{\text{m}})\) so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Cho bảy điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F,\,\,G\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(F\) là trung điểm \(AD,\) độ dài các cạnh được ghi trên hình vẽ (đơn vị độ dài).
Một trò chơi được quy định như sau: xuất phát từ một điểm bất kỳ trong bảy điểm trên đi qua hết tất cả các cạnh trên hình vẽ mỗi cạnh ít nhất một lần rồi quay lại điểm xuất phát. Người chơi là người thắng cuộc nếu tổng độ dài đường đi là ngắn nhất. Tính tổng độ dài đường đi đó.
Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình \(S\) (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau \(t\) tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau
\(S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{c{t^2} + d}}\) và \(S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}}\) \((a,b,c,d \in \mathbb{R};ac \ne 0)\).
Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút.
Một chiếc xe tải từ trạng thái nghỉ di chuyển một quãng đường dài 256 m trong 20 giây, gọi \(s(t)\)(m) là quãng đường vật đi được trong \(t\) giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, \(v(t)\)(m/s) là vận tốc của vật tại thời điềm \(t\) giây (tham khảo hình vẽ).
Khi đó ta có biểu thức \(v(t) = 0,6\sqrt[4]{{{s^3}(t)}}\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 10\) giây bằng bao nhiêu \({\text{m}}/{\text{s}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Xét một chiếc bàn phẳng, có hai viên bi hình cầu được đặt trên mặt bàn. Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt bàn, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên so với mặt bàn và mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 cm. Ban đầu 2 viên bi này đứng yên trên mặt bàn, tâm của chúng lần lượt trùng với các điểm \(I( – 11;5;3)\) và \(J(13; – 2;5)\). Tại một thời điểm, người ta đồng thời tác động cho 2 viên bi lăn về phía nhau trên mặt bàn theo cùng một đường thẳng với tốc độ không đổi là \(5cm/s\) và \(4cm/s\) (viên bi nhỏ hơn có tốc độ lớn hơn). Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi tác động thì hai viên bi va chạm với nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Một đèn lồng đón năm mới được thiết kế theo hình bát diện đều (ta có thể hìnhdung hình bát diện đều là hai hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau \(S.ABCD\) và \(T.ABCD\) sử dụng chung một mặt đáy). Nghệ nhân đã thiết kế sẵn 12 tấm bìa cứng là các tam giác bằng nhau gồm 3 màu: xanh, đỏ, vàng; trên các tấm bìa cùng màu được đánh số từ 1 tới 4. Mỗi tấm bìa khi dán vào đèn lồng sẽ vừa kín một trong tám mặt bên của nó. Gọi \(N\) là số cách mà nghệ nhân có thể chọn 8 tấm bìa dán lên 8 mặt bên của đèn lồng sao cho hai tấm bìa có chung một cạnh thì khác mà, hai tấm bìa có chung đúng một đỉnh thì khác số. Giá trị \(\frac{N}{8} + 16\) bằng bao nhiêu?
Kết quả: