Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Question 1

Câu 1:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A
\(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C,(0 < a \ne 1)\).
B
\(\mathop \smallint \nolimits^ {sin}xdx = {cos}x + C\).
C
\(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{x}dx = {ln}\left| x \right| + C,x \ne 0\).
D
\(\mathop \smallint \nolimits^ {e^x}dx = {e^x} + C\).

Chọn B

Có: \(\mathop \smallint \nolimits^ {sin}xdx = – {cos}x + C\)

Answer

\(\mathop \smallint \nolimits^ {sin}xdx = {cos}x + C\).

Question 2

Câu 2:

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {5^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
\(S = \pi \int\limits_0^2 {{5^x}} {\mkern 1mu} dx\).
B
\(S = \int\limits_0^2 {{5^{2x}}} {\mkern 1mu} dx\).
C
\(S = \int\limits_0^2 {{5^x}} {\mkern 1mu} dx\).
D
\(S = \pi \int\limits_0^2 2 {5^x}{\mkern 1mu} dx\).

Chọn C

Ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{5^x}} \right|} {\mkern 1mu} dx = \int\limits_0^2 {{5^x}} {\mkern 1mu} dx\).

Answer

\(S = \int\limits_0^2 {{5^x}} {\mkern 1mu} dx\).

Question 3

Câu 3:

Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau. Trung bình mỗi ngày bác Hương đi bộ được bao nhiêu km?

Quãng đường (km)

[2,7;3,0)

[3,0;3,3)

[3,3;3,6)

[3,6;3,9)

[3,9;4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

A
3,39.
B
11,62.
C
0,1314.
D
0,36.

Chọn A

Ta có bảng sau:

Answer

\(\vec p = \left( { - 3;0;1} \right)\).

Answer

\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 2\).

Answer

\(a > 1\).

Answer

\(\vec n = \left( {3;0; - 1} \right)\)

Answer

\(AC \bot SC\).

Answer

\(\frac{{11}}{3}\).

Answer

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).

Answer

\(y = 3\).

Answer

\(x = \frac{\pi }{2}\).

Answer

Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Answer

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A ( không làm tròn đến hàng phần trăm) là 0,72.

Answer

Xác suất chọn được học sinh biết bơi là \(P\left( B \right) = 0,21\).

Answer

Gọi \(G\) là tâm của cửa sổ, khi đó \(G\left( {1;2;3} \right)\)

Question 4

Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 6 – 3t} \\

{y = 2} \\

{z = – 2 + t}

\end{array}} \right.\). Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

A
\(\vec u = \left( {6;2; - 2} \right)\).
B
\(\vec v = \left( { - 3;2;1} \right)\).
C
\(\vec p = \left( { - 3;0;1} \right)\).
D
\({\vec w} = \left( {3;0;1} \right)\).

Chọn C

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 6 – 3t} \\

{y = 2} \\

{z = – 2 + t}

\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 6 – 3t} \\

{y = 2 + 0t} \\

{z = – 2 + t}

\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( { – 3;0;1} \right)} \right.} \right.\)

Question 5

Câu 5:

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Khẳng định nào sau đây đúng?

A
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 2\).
B
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 2\).
C
\(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 2\).
D
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3x - 2\).

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số bậc 3 có nên ta loại câu C.

Xét câu A: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} – 2\) có \(f’\left( x \right) = {x^2} + 2x = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{x = 0 \Rightarrow y = – 2} \\

{x = – 2 \Rightarrow y = \frac{{ – 2}}{3}}

\end{array}} \right.\). Loại câu A.

Xét câu B: \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} – 2\) có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0 \Rightarrow y = – 2} \\

{x = – 2 \Rightarrow y = 2}

\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Xét câu D: \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x – 2\) có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 3 = 0\) (Phương trình vô nghiệm).

Loại câu D.

Question 6

Câu 6:

Nếu \({a^{\frac{3}{4}}} < {a^{\frac{4}{5}}}\) thì

A
\(a < 1\).
B
\(0 < a < 1\).
C
\(a < 0\).
D
\(a > 1\).

Chọn D

Vì \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\), mà \({a^{\frac{3}{4}}} < {a^{\frac{4}{5}}}\) nên \(a > 1\).

Question 7

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x – z + 2 = 0\). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)?

A
\(\vec n = \left( {0;0;2} \right)\).
B
\(\vec n = \left( {3;0;2} \right)\).
C
\(\vec n = \left( {3; - 1;2} \right)\).
D
\(\vec n = \left( {3;0; - 1} \right)\)

Chọn D

Có \(\left( P \right):3x – z + 2 = 0 \Rightarrow 3x + 0y – z + 2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {3;0; – 1} \right)\)

Question 8

Câu 8:

Cho hình chóp đều S.ABCD, gọi \(O\) là giao điểm của AC và BD. Phát biểu nào sau đây là sai?

A
\(AC \bot SD\).
B
\(AB \bot SO\).
C
\(AC \bot SC\).
D
\(AC \bot SB\).

Chọn C

Do là hình chóp đều có là giao điểm của AC và BD nên \(SO \bot mp\left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(SO \bot AC\) mà không song song với, do đó không vuông góc với.

Question 9

Câu 9:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = \frac{1}{3},{u_8} = 26\). Công sai \(d\) của cấp số cộng đó là

A
\(\frac{{11}}{3}\).
B
\(\frac{{10}}{3}\).
C
\(\frac{3}{{10}}\).
D
\(\frac{3}{{11}}\).

Chọn A

Có \({u_8} = {u_1} + \left( {8 – 1} \right).d \Rightarrow 26 = \frac{1}{3} + 7.d \Rightarrow d = \frac{{11}}{3}\).

Question 10

Câu 10:

Cho tứ diện ABCD, gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác\(BCD\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
B
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \).
C
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CA} \).
D
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).

Chọn D

Vì là trọng tâm của tam giác nên với mọi điểm A bất kì ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)

Question 11

Câu 11:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) có phương trình là

A
\(x = - 2\).
B
\(y = 3\).
C
\(x = - 1\).
D
\(y = 2\).

Chọn B

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}} \right) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {1 + \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}} \right) = 3\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = 1 + \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) có đường tiệm cận ngang \(y = 3\).

Question 12

Câu 12:

Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm dương nhỏ nhất là

A
\(x = \frac{{5\pi }}{2}\).
B
\(x = \frac{\pi }{2}\).
C
\(x = \frac{\pi }{3}\).
D
\(x = \pi \).

Chọn B

Ta có \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm dương khi và chỉ khi \(\frac{\pi }{2} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > – \frac{1}{4}\).

Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm dương nhỏ nhất khi \(k = 0\).

Suy ra \(x = \frac{\pi }{2}\).

Question 13

Câu 13:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + x – 6{ln}\left( {x + 2} \right)\).

A
Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = x + 1 - \frac{6}{{x + 2}}\).
B
Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
C
\(f\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{2}\) và \(f\left( 2 \right) = 4 - 12{ln}2\).
D
Giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) lớn hơn -5.

a) Đúng: Có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{2}.2x + 1 – 6.\frac{1}{{x + 2}} = x + 1 – \frac{6}{{x + 2}}\)

b) Sai: Ta có

\(f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow x + 1 – \frac{6}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) – 6}}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 3x – 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2}} \\

{x = \frac{{ – 3 – \sqrt {21} }}{2}}

\end{array}} \right.\)

Mà \(x \in \left[ { – 1;2} \right]\) nên \(x = \frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) Đúng: Ta có

\(f\left( { – 1} \right) = \frac{1}{2}.{( – 1)^2} + 1 – 6{ln}\left( { – 1 + 2} \right) = \frac{{ – 1}}{2};\)

\(f\left( 2 \right) = \frac{1}{2}{.2^2} + 2 – 6{ln}\left( {2 + 2} \right) = 4 – 12{ln}2\)

d) Sai: Có

\(f\left( {\frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) – 6{ln}\left( {\frac{{ – 3 + \sqrt {21} }}{2} + 2} \right) \approx – 5,05\)

\(f\left( { – 1} \right) = \frac{{ – 1}}{2} = – 0,5;f\left( 2 \right) = 4 – 12{ln}2 \approx – 4,32\)

Suy ra

Question 14

Câu 14:

Điểm trung bình môn Toán cuối năm của các học sinh lớp 12A và 12B được thống kê trong bảng sau?

Điểm trung bình

[5;6)

[6;7)

[7;8)

[8;9)

[9;10)

12A

1

0

11

22

6

12B

0

6

8

14

12

A
Lớp 12A có 28 học sinh có điểm trung bình môn Toán cuối năm từ 8 trở lên.
B
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A ( không làm tròn đến hàng phần trăm) là 0,72.
C
Số trung bình của mẫu số lệu lớp 12A lớn hơn số trung bình của mẫu số liệu lớp 12B.
D
Dựa vào độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê ghép nhóm, thì lớp 12A có điểm trung bình môn Toán cuối năm ít phân tán hơn lớp 12B.

Ta có bảng

Question 15

Câu 15:

Tại một trường THPT có \(30{\% }\) học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao. Trong số những học sinh này, có \(70{\% }\) biết bơi. Ngoài ra, có \(20{\% }\) số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết bơi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Xét các biến cố: \(A\): “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”; \(B\): “Chọn được học sinh biết bơi”.

A
Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là \(P\left( A \right) = 0,3\).
B
Xác suất chọn được học sinh biết bơi, biết học sinh đó không thuộc câu lạc bộ thể thao, là \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,2\).
C
Xác suất chọn được học sinh biết bơi là \(P\left( B \right) = 0,21\).
D
Giả sử chọn được học sinh biết bơi. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là \(P\left( {A\mid B} \right) = 0,6\).

Từ đề bài ta có sơ đồ hình cây như sau:

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

a) Đúng: Vì tại trường THPT này có \(30{\% }\) học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, do đó \(P\left( A \right) = 30{\% } = 0,3\).

b) Đúng: Vì có \(20{\% }\) số học sinh không tham gia câu lạc bổ thể thao cũng biết bơi.

Do đó: \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,2\)

c) Sai: Theo sơ đồ, ta có: \(P\left( B \right) = 0,3.0,7 + 0,7.0,2 = 0,35\)

d) Đúng: Ta có \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3.0,7}}{{0,35}} = 0,6\)

Question 16

Câu 16:

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz\)(có mặt sàn là \(Oxy\),\(Oz\) thẳng đứng lên), có một cửa sổ hình vuông \(ABCD\) song song với mặt phẳng \(Oxz\), cạnh dài bằng 2m. Cửa sổ được chiếu sáng bởi một nguồn sáng đặt tại \(L(3;0;5)\). Biết điểm \(A(4;4;1)\). Trên mặt sàn xuất hiện hình bóng của cửa sổ. Hãy dựa vào hình vẽ bên xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

A
Gọi \(G\) là tâm của cửa sổ, khi đó \(G\left( {1;2;3} \right)\)
B
Gọi \(D\prime \) của bóng của điểm \(D\) trên mặt sàn, khi đó tọa độ của \(D\prime \) là \(\left( {\frac{{11}}{2};10;0} \right)\)
C
Diện tích bóng của cửa sổ trên mặt sàn lớn hơn \(15{m^2}\)
D
Hình bóng của cửa sổ trên mặt sàn lớn hơn cửa sổ thật 4 lần

a) Sai. Vì cửa sổ song song với mặt phẳng \(Oxz\), các cạnh của nó song song với trục \(Ox\) và \(Oz\). Vì hình vuông cạnh \(2,\;A(4;4;1)\) là một đỉnh, lại có:

\( – AB//Ox\) và sang trái (giảm \(x\)), độ dài 2: \( \Rightarrow B(4 – 2;4;1) = (2;4;1).\)

\( – AD//Oz\) và lên trên (tăng \(z\)), độ dài 2: \( \Rightarrow D(4;4;1 + 2) = (4;4;3).\)

– \(C\) là đỉnh còn lại, nằm lệch theo cả \(Ox\) và \(Oz\) so với \(A\): \(C\left( {2;4;3} \right).\)

Ta có \(G\) là tâm của cửa sổ, khi đó \(G\) là trung điểm của \(BD\) nên \(G\left( {\frac{{2 + 4}}{2};\frac{{4 + 4}}{2};\frac{{1 + 3}}{2}} \right) = G\left( {3;4;2} \right)\)

b)Đúng. Lấy một đỉnh chung \(P\left( {{x_P};4;{z_P}} \right) \in \)cửa sổ

Đường thẳng \(LP\) có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 3 + t\left( {{x_P} – 3} \right)} \\

{y = 4t} \\

{z = 5 + t\left( {{z_P} – 5} \right)}

\end{array}} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Điểm chiếu \(P\prime \) thuộc mặt phẳng \(z = 0\) nên: \(5 + t\left( {{z_P} – 5} \right) = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{{5 – {z_P}}}\)

Thay lần lượt cho từng đỉnh:

Xét điểm \(A(4;4;1)\) có:

\({z_A} = 1;{t_A} = \frac{5}{4} \Rightarrow {x_{A\prime }} = 3 + \frac{5}{4}(4 – 3) = 3 + \frac{5}{4} = \frac{{17}}{4};{y_{A\prime }} = 4 \cdot \frac{5}{4} = 5 \Rightarrow A\prime \left( {\frac{{17}}{4};5;0} \right)\)

Tương tự ta tìm được \(B\prime \left( {\frac{7}{4};5;0} \right),C\prime \left( {\frac{1}{2};10;0} \right),D\prime \left( {\frac{{11}}{2};10;0} \right)\)

c) Đúng. Diện tích tứ giác \(A\prime B\prime C\prime D\prime \)

Trong mặt phẳng \(z = 0\) ta có:\(A\prime \left( {\frac{{17}}{4};5} \right),B\prime \left( {\frac{7}{4};5} \right),C\prime \left( {\frac{1}{2};10} \right),D\prime \left( {\frac{{11}}{2};10} \right).\)

Ta thấy: \({y_{A\prime }} = {y_{B\prime }} = 5,\quad {y_{C\prime }} = {y_{D\prime }} = 10,\) nên \(A\prime B\prime C\prime D\prime \) là hình thang, hai đáy song song trục \(Ox\).

Đáy nhỏ: \(A\prime B\prime = \left| {\frac{{17}}{4} – \frac{7}{4}} \right| = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2}.\)

Đáy lớn: \(C\prime D\prime = \left| {\frac{{11}}{2} – \frac{1}{2}} \right| = \frac{{10}}{2} = 5.\)

Chiều cao: \(h = 10 – 5 = 5{ }.\)

Diện tích: \({S_{A\prime B\prime C\prime D\prime }} = \frac{{\left( {A\prime B\prime + C\prime D\prime } \right).h}}{2} = \frac{{\left( {\frac{5}{2} + 5} \right).5}}{2} = \frac{{15}}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{{75}}{4} = 18,75\)(\({m^2}\))

d) Sai. Cửa sổ \(ABCD\) là hình vuông cạnh 2: \({S_{ABCD}} = {2^2} = 4\)

Do đó: \(k = \frac{{{S_{A\prime B\prime C\prime D\prime }}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{{75}}{4}}}{4} = \frac{{75}}{{16}} \approx 4,7.\)

Vậy hình bóng của cửa sổ trên mặt sàn lớn hơn cửa sổ thật khoảng 4,7 lần

Question 17

Câu 17:

Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(1\) và cạnh bên \(AA’ = \sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A’B\) và \(B’C\) (Kết quả cuối cùng được làm tròn đến hàng phần trăm).

A

Trả lời: 0,47.

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\). Suy ra \(A’BDB’\) là hình bình hành.

Khi đó \(\left\{ \begin{gathered}

A’B//B’D \hfill \\

B’D \subset \left( {B’CD} \right) \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow A’B//\left( {B’CD} \right) \supset B’C\).

do đó \(d\left( {A’B;B’C} \right) = d\left( {A’B;\left( {B’CD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B’CD} \right)} \right)\).

gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(B’K\).

Suy ra \(d\left( {B;\left( {B’CD} \right)} \right) = BH\).

Ta có \(\Delta BKD\) vuông tại \(K\) có \(\widehat {BDK} = 30^\circ \) nên \(BK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\).

Xét \(\Delta B’BK\) vuông tại \(B\) có \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{{B’}^2}}} + \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2} \Rightarrow BH = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {A’B;B’C} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \approx 0,47\).

Question 18

Câu 18:

Trong công viên nước, người ta xây dựng một máng trượt nước dạng một cung tròn. Mô hình hóa trong hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 mét) với điểm đầu máng trượt là \(A\left( {0;0;12} \right)\), cung tròn đi qua điểm \(B\left( {5;12;5} \right)\) và kết thúc ở điểm \(C\left( {17;5;0} \right)\).

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Tính độ dài máng trượt đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A

Trả lời: 33.

Ta có \(AB = \sqrt {218} \), \(AC = \sqrt {458} \), \(BC = \sqrt {218} \), suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(B\).

Diện tích \({S_{ABC}} = \frac{{\sqrt {47403} }}{2}\).

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABC\) là \(R = \frac{{AB \cdot BC \cdot CA}}{{4{S_{ABC}}}} \approx 10,71411\).

Theo định lý cosin, ta có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} – A{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} = – \frac{{11}}{{218}} \Rightarrow \alpha = \widehat {ABC} \approx 1,62128\) rad.

Góc \(\alpha \) là góc nội tiếp chắn cung \(AC\) (không qua \(B\)) của đường tròn ngoại tiếp \(ABC\).

Suy ra số đo của góc chắn cung \(ABC\) là \(\beta = 2\pi – 2\alpha \).

Độ dài cung \(ABC\) là \(l = \beta R = \left( {2\pi – 2\alpha } \right) \cdot R \approx 32,577 \approx 33\).

Question 19

Câu 19:

Trên một khu đất hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sē điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh \(AB,\) đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bắt kỳ trên cạnh \(CD.\) Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi \(a\) là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị \(100a\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

A

Ký hiệu các điểm như hình vẽ bên:

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

TH1: Con robot đi trong vùng giới hạn bởi \(MX,\)\(MY\) thì rõ ràng \(MX\) là đường đi có thời gian ngắn nhất, khi đó thời gian đi là

\(\frac{{120}}{2} + \frac{{80}}{3} \approx 86,67(\;{m}).\)

TH2: Con robot đi trong vùng giới hạn bởi \(MC,\)\(MY,\) giả sử đường đi của nó là \(MZ,\)ta đặt \(\alpha = \widehat {ZMB} = \widehat {HEM} = \widehat {FEG}\).

Khi đó \(MZ = \frac{{200}}{{\cos \alpha }},HE = HM\cot \alpha = 40\cot \alpha \), \(EG = HG – HE = 40 – 40\cot \alpha \).

Tính được \(EF = \frac{{EG}}{{\cos \alpha }} = \frac{{40 – 40\cot \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{40}}{{\cos \alpha }} – \frac{{40}}{{\sin \alpha }}\) (đây là quāng đường đi trên cát).

Quãng đường đi trên mặt đất là \(EM + FZ = \frac{{200}}{{\cos \alpha }} – \)\(\left( {\frac{{40}}{{\cos \alpha }} – \frac{{40}}{{\sin \alpha }}} \right) = \frac{{240}}{{\sin \alpha }} – \frac{{40}}{{\cos \alpha }}\).

Tổng thời gian đi theo đường \(MZ\) là

\(t = \frac{1}{3}\left( {\frac{{240}}{{\sin \alpha }} – \frac{{40}}{{\cos \alpha }}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{40}}{{\cos \alpha }} – \frac{{40}}{{\sin \alpha }}} \right) = \frac{{60}}{{\sin \alpha }} + \frac{{20}}{{3\cos \alpha }}.\)

Đến đây, có thể dùng tính năng Shift Solve hoặc sử dụng đạo hàm sē tìm ra được cực tiểu là \(\alpha \) thỏa mān \(\tan \alpha = \sqrt[3]{9}\). Ở đây trình bày cách tiếp cận khác, ta có

\({t^2} = \left( {\frac{{60}}{{\sin \alpha }} + \frac{{20}}{{3\cos \alpha }}} \right)\left( {\frac{{60}}{{\sin \alpha }} + \frac{{20}}{{3\cos \alpha }}} \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) \geqslant {\left( {\sqrt[3]{{3600}} + \sqrt[3]{{\frac{{400}}{9}}}} \right)^3}.\)

Vậy \(t \geqslant \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{3600}} + \sqrt[3]{{\frac{{400}}{9}}}} \right)}^3}} = \frac{{20}}{9}\sqrt {{{(9 + \sqrt[3]{9})}^3}} \approx 81,96001989\).

Đáp án \(100a = 8196\).

Chú ý: Bất đẳng thức Holder: \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \geqslant {(amx + bny)^3}\).

Question 20

Câu 20:

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = 40\sqrt 2 \)(cm). Gọi \(\left( H \right)\) là miền chứa tất cả các điểm \(M\) nằm bên trong hình vuông sao cho độ dài \(MI \geqslant d\left( {M,AB} \right)\). Khi đó diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

A

Trả lời: \(2133\)

Bán kính đường tròn \(R = 40\sqrt 2 \) nên suy ra đường chéo của hình vuông bằng \(80\sqrt 2 \) nên cạnh hình vuông bằng \(80\)cm.

Các điểm \(M\) thỏa mãn \(MI = d\left( {M,\,AB} \right)\) nằm trên một đường cong có phương trình \(y = f\left( x \right)\) và đây chính là một parabol có tiêu điểm \(I\) và đường chuẩn \(AB\). Khi đó hình phẳng \(\left( H \right)\) chính là miền được tô màu như hình vẽ

Gọi \(M\left( {x;\,y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}

MI = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\

d\left( {M,\,AB} \right) = \left| {x + 40} \right| \hfill \\

\end{gathered} \right.\)

\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \left| {x + 40} \right| \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {80x + 1600} \)

Giao điểm của parabol với hai cạnh \(AD\) và \(BC\) là: \(\left\{ \begin{gathered}

y = \pm \sqrt {80x + 1600} \hfill \\

y = \pm 40 \hfill \\

\end{gathered} \right.\) nên suy ra \(E\left( {0;\,40} \right)\); \(F\left( {0;\, – 40} \right)\)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) cần tính có thể dùng tích phân hoặc công thức tính nhanh diện tích cổng parabol: \({S_{\left( H \right)}} = 2\left( {\int\limits_{ – 40}^{ – 20} {\left| {40} \right|{d}x + \int\limits_{ – 20}^0 {\left| {40 – \sqrt {80x + 1600} } \right|{d}x} } } \right) = 2133\)(cm2)

Khi thành thạo rồi thì ta có thể tư duy nhanh về dữ kiện đề bài cho. Ta thấy hình phẳng \(\left( H \right)\) nằm bên trong hình vuông, đồng thời thỏa mãn điều kiện \(MI \geqslant d\left( {M,AB} \right)\) thì đây là miền hình phẳng nằm bên trong hình vuông, giới hạn bởi một đường parabol có tiêu điểm là \(I\), đường chuẩn \(AB\) và miền cần tính chứa đường chuẩn \(AB\), bao gồm cả đường parabol.

Tính diện tích dựa trên công thức tính nhanh:

\({S_{\left( H \right)}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} – \frac{4}{3}.EI.KI = \frac{1}{2}{.80^2} – \frac{4}{3}.40.20 = 2133\)(cm2)

Question 21

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị: km), xét tuyến đường bay tiếp cận một sân bay, tuyến đường bay đi qua hai điểm \(A\left( {2;0;2} \right)\)và \(B\left( {6;10;0} \right)\). Gần đó có một khu dân cư có trung tâm tại \(S(0;3,5;0,5)\).

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Giả sử máy bay bay thẳng đều trên tuyến đường bay này. Khu dân cư bị coi là vùng ồn nguy hiểm nếu máy bay cách điểm \(S\) không vượt quá 4 km. Biết vận tốc máy bay là \(v = 240km/h\), hãy tính thời gian (tính bằng phút, làm tròn đến hàng phần trăm) mà khu dân cư phải chịu mức ồn vượt ngưỡng.

A

Trả lời: 1,12

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4;10; – 2)\) suy ra đường thẳng \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2 + 4t} \\

{y = 0 + 10t} \\

{z = 2 – 2t}

\end{array}\quad t \in \mathbb{R}} \right.\)

Gọi \(P\) vị trí máy bay trên đường bay, khi đó \(P:\left( {2 + 4t;10t;2 – 2t} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {SP} = \left( {2 + 4t;10t – \frac{7}{2};\frac{3}{2} – 2t} \right).\)

Vậy khoảng cách \(SP = d\left( t \right) = \sqrt {{{(2 + 4t)}^2} + {{\left( {10t – \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} – 2t} \right)}^2}} \)

Xét vùng ồn nguy hiểm: \(d(t) \leqslant 4\;km\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 4t)}^2} + {{\left( {10t – \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} – 2t} \right)}^2}} \leqslant 4\)

\( \Leftrightarrow {(2 + 4t)^2} + {\left( {10t – \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} – 2t} \right)^2} \leqslant 16\)

\( \Leftrightarrow 120{t^2} – 60t + \frac{{37}}{2} \leqslant 16\)

\( \Leftrightarrow 48{t^2} – 24t + 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow t \in \left[ {\frac{{3 – \sqrt 6 }}{{12}};\frac{{3 + \sqrt 6 }}{{12}}} \right].\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{10}^2} + {{( – 2)}^2}} = 2\sqrt {30} .\)

Khi đó độ dài đoạn đường mà máy bay gây ồn vượt ngưỡng là \(L = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left( {\frac{{3 + \sqrt 6 }}{{12}} – \frac{{3 – \sqrt 6 }}{{12}}} \right) = 2\sqrt {30} .\frac{{\sqrt 6 }}{6} = 2\sqrt 5 \;km\)

Vậy thời gian bay gây ồn vượt ngưỡng là: \(t = \frac{L}{v} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{240}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{120}}\) (giờ)\( \approx 1,12{ ph\’u t}{. }\)

Question 22

Câu 22:

Điều tra tình hình mắc bệnh ung thư phổi của một vùng thấy tỉ lệ người hút thuốc lá và mắc bệnh là \(15{\% }\). Tỉ lệ người hút thuốc lá và không mắc bệnh là \(25{\% }\), tỉ lệ người không hút thuốc và không mắc bệnh là \(50{\% }\) và \(10{\% }\) là người không hút thuốc nhưng mắc bệnh. Tỉ lệ mắc bệnh ung thư phổi giữa người hút thuốc lá và không hút thuốc lá là bao nhiêu?

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

A

Trả lời: \(1,5\)

Gọi biến cố A: “Người hút thuốc”;

B: “Bị mắc bệnh ung thư phổi”.

Theo đề bài, ta có:

\(P\left( {AB} \right) = 0,15;P\left( {A\overline B } \right) = 0,25;P\left( {\overline {AB} } \right) = 0,5;P\left( {\overline A B} \right) = 0,1\)

Suy ra \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = 0,15 + 0,1 = 0,25\)

Xác suất người đó hút thuốc lá biết họ mắc bệnh ung thư phổi là: \(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,15}}{{0,25}} = 0,6\)

Xác suất người đó không hút thuốc lá biết người đó mắc bệnh ung thư phổi là

\(P\left( {\overline A \mid B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,1}}{{0,25}} = 0,4\)

Vậy tỉ lệ mắc bệnh ung thư phổi giữa người hút thuốc là và không hút thuốc là \(\frac{{0,6}}{{0,4}} = 1,5\).

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Đề Kiểm Tra: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Các lựa chọn đã được chọn:

Đáp án: Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 7

Trắc Nghiệm Liên Quan

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 6

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Sở GD Tuyên Quang Lần 2

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 5

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 4

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 3

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 8

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 9

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 10

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 11

Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 12