Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 3}}{{x + 1}}\) là đường thẳng có phương trình
\(y = 2\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; – 2;1} \right)\) và bán kính \(R = 5\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là
\(\;{x^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2; – 1} \right),B\left( {2; – 1;3} \right),C\left( { – 3;5;1} \right)\). Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là
\(\left( {0;2;1} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a,AC = 2a\) cạnh \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Với \(a\) là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
\({{log}}{a^3} = 3{{log}}a\).
Cho cấp số cộng có \({u_1} = 3,{u_2} = 6\). Xác định công sai d của cấp số cộng
\({{d}} = 3\).
Biết phương trình \(\sin x = m\) có một họ nghiệm là \(x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\). Họ nghiệm còn lại của phương trình đã cho là biểu thức nào sau đây?
\(x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\). Đặt \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d + \overrightarrow b } \right)\).
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x – \sin x\) là
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C\).
Cho hàm số \(f(x) = \int {\left( {3{x^2} – ax + 1} \right)} dx\) và biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – 2}}{{x – 1}} = 5\)
Hãy tính giá trị \(f(0)\).
\( - \frac{1}{2}\).
Theo thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh đã trúng tuyển vào lớp 10 năm học 2024 – 2025 của Trường TH – THCS – THPT Lê Thánh Tông được kết quả như bảng sau:
Khoảng điểm
[6,5;7)
[7;7,5)
[7,5;8)
[8;8,5)
[8,5;9)
[9;9,5)
[9,5;10)
Tần số
7
10
17
24
13
8
5
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\({{\Delta }}Q = 1\).
Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery.
Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm \(t = 0\left( s \right)\) cho đến khi tên lửa đấy được phóng đi tại thời điểm \(t = 126\left( s \right)\), cho bởi hàm số sau:
\(v\left( t \right) = 0,001302{t^3} – 0,09029{t^2} + 23,61t – 3,083\)(v được tính bằng feet/s, 1 feet \( = 0,3048m\)). Xét tính đúng sai của mệnh đề sau
Gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến thời điểm \(t = 23\left( s \right)\).
Một đoàn tàu đứng yên trong sân ga, ngay trước đầu tàu có một cái cây. Đoàn tàu khởi hành từ trạng thái đứng yên với gia tốc \(a = 0,005t\left( {{{m}}/{{{s}}^2}} \right)\) và đi qua cái cây trong thời gian 60 giây. Sau 80 giây đoàn tàu chuyển sang trạng thái chuyển động đều.
Vận tốc của đoàn tàu là \(v = {5.10^{ - 3}}{t^2}\left( {{{m}}/{{s}}} \right)\)
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ki-lô-mét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {4; – 0,5;0,5} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B\left( {3;2,5;0} \right)\) ở trên đường băng \(EG\) (hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {8;0;0} \right)\), \(N\left( {0; – 8;0} \right)\) và \(P\left( {0;0;0,8} \right)\).
Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối \(G\left( {4,5;5,5;0} \right)\) của đường băng ở độ cao tối thiểu là \(120m\). Nếu sau khi ra khỏi đám mây tầm nhìn của người phi công là \(900m\) thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.
Xác suất để công ty \(X\) thuê một trong hai công ty vệ tinh \(A\) và \(B\) tư vấn lần lượt là 0,4 và 0,6. Theo kinh nghiệm khả năng \(X\) phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn của công ty \(A\) và \(B\) lần lượt là 0,05 và 0,03
Biết \(X\) có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn. Xác suất để \(X\) thuê công ty \(A\) tư vấn là 0,4737
Một vật lưu niệm làm bằng thủy tinh có dạng hình lăng trụ đều có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(AB = 10\)\(\left( {{{cm}}} \right)\). Phía bên trong làm bằng nhựa đặc là hình chóp cụt đều \(MNPQ.ABCD\) có \(MN = 5\)\(\left( {{{cm}}} \right)\) và chiều cao bằng chiều cao của lăng trụ như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {CDQP} \right)\) bằng \(3\sqrt {10} \)\(\left( {{{cm}}} \right)\). Phần khoảng trống bên trong vật lưu niệm người ta bơm chất lỏng có màu sắc (xem độ dày thành vật thể không đáng kể).
Khi đó thể tích phần chất lỏng bơm vào là \(\frac{a}{b}\)(lít) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tìm \(a + b\).
Trả lời: \(21\).Một buổi chiều nọ, bên bếp lửa hồng trong gian nhà ấm áp, người ta nhìn thấy ba mẹ con cùng ăn đậu phộng rang. Tấm ăn trước, cô bốc 1 hạt đậu và bỏ vào miệng; Cám là người bốc đậu tiếp theo, cô bỏ 2 hạt đậu vào miệng; dì ghẻ là người bốc đậu kế tiếp liền bỏ 3 hạt vào miệng. Trở lại lượt của Tấm, cô lấy 4 hạt đậu, rồi cám lấy 5 hạt đậu, dì ghẻ lấy 6 hạt đậu … Bữa ăn hào hứng như thế cho đến lượt cuối cùng thì số hạt đậu không đủ theo quy luật trò chơi, người nào đến lượt cuối sẽ lấy hết số đậu còn lại. Sau bữa ăn ấm áp ấy, Tấm nhận ra mình đã cho vào bụng 317 hạt đậu. Hỏi tổng số đậu mà ba mẹ con đã ăn trong tối đó là bao nhiêu?
Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá \(400\) sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm (\(1 \leqslant x \leqslant 400\)) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F(x) = {x^3} – 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}\) (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là \(H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x – 50000\) (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm \(1\% \) cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm \(2\% \) cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau:
Bước 1. Vẽ hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng 2, và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là \(E,F,G,H\).
Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm \(B,C,H\) và hàm bậc hai đi qua ba điểm \(F,D,A\).
Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm \(A,B,G\) và ba điểm \(C,D,E\)
Biết rằng: Diện tích phần tô đen trong Hình 2 được cho bởi công thức: \(\frac{{p\sqrt 2 + q}}{3}\)
Hãy tính giá trị của \(p – q\). (Với \(p,q\) là các số nguyên.)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2z – 38 = 0\) và hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y – 4 = 0;\left( \beta \right):3y + z – 5 = 0\). Xét \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khoảng cách lớn nhất từ điểm \(A\left( {5; – 5;6} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng bao nhiêu. ( làm tròn đến hàng phần mười)
Một bàn cờ vua gồm \(8 \times 8\) ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b\).
Kết quả: